Het is een fascinerende gedachte dat er tussen elke twee willekeurige rationale getallen (getallen die je als breuk kunt schrijven) op de getallenlijn nog oneindig veel andere rationale getallen liggen. Maar dat zijn nog maar alleen rationale getallen, hoe zit het met de irrationale getallen?
Moet je je voorstellen. Tussen de rationale getallen `a` en `b`, hoe dicht je die ook bij elkaar kiest, liggen dus nog oneindig veel rationale getallen. Als je je zo’n rationaal getal voorstelt als een rode stip op de getallenlijn, dan moet die lijn knalrood zijn. En toch, tussen al die rationale getallen liggen nog oneindig vele getallen die niet rood zijn. Als die getallen blauw zouden zijn, wat wordt dan de kleur van de getallijn?
Tussen elke twee willekeurige rationale getallen op de getallenlijn liggen nog oneindig veel andere rationale getallen. Voor wie dat niet wist: ik zal het hier bewijzen in twee stappen.
Moet je je voorstellen. Tussen `a` en `b`, hoe dicht je die ook bij elkaar kiest, liggen dus nog oneindig veel rationale getallen. Als je je zo’n rationaal getal voorstelt als een rode stip op de getallenlijn, dan moet die lijn knalrood zijn. En toch, tussen al die rationale getallen liggen nog oneindig vele getallen die niet rood zijn. Als de niet-rationale (irrationale, niet als een breuk te schrijven) getallen blauw zouden zijn, dan kleurt de getallenlijn blauw! Niet paars, maar blauw. Ondanks al die rode rationale getallen. Hoe kan dat?
Om dat te begrijpen kijk je naar een aantal eigenschappen van rationale en irrationale getallen. Eerst schakel je over naar de decimale notatie van de rationale getallen. Een breuk `p/q` kun je schrijven als een decimaal getal met een bijzondere eigenschap: de decimalen gaan zich op een zeker moment herhalen. Sterker, die moeten zich gaan herhalen. Dat kun je zo begrijpen: denk maar aan het uitvoeren van een (staart-)deling, zeg, die van `1437//593`. Niet moeilijk om te zien dat `593` er `2 xx` in past en dan houd je een rest over die kleiner is dan `593`. Dan ga je verder met de eerste decimaal van de deling, dus een `0` ophalen en kijken hoeveel maal `593` daarin past. Ook dan heb je, vermoedelijk, weer een rest. En ook die is kleiner dan `593`. Na maximaal `593` keer een `0` ophalen (maar vermoedelijk al veel eerder), moet je een rest overhouden die gelijk is aan een rest die je al eerder was tegen gekomen. Vanaf dat moment begint de herhaling – en de herhaling van de herhaling, en… die oneindig lang doorloopt. En als je een rest van `0` hebt, dan begint daarna een rij van nullen in het antwoord van de deling. Die schrijf je normaal niet op, maar zijn er wel! Zoals `7/2=3,50000000…` heeft dus ook een oneindige herhaling van nullen.
De eigenschap van de herhalende staart geldt ook omgekeerd: heb je een decimaal getal met een herhalende staart, dan moet dat een rationaal getal zijn. Een voorbeeld: Van zomaar een getal `a= 3,5210821082108…` herhaalt het stukje `2108` zich. Bekijk nu `10text(.)000a`. Dat is `35210,8210821082108…` En dat betekent dat `9text(.)999a= 35text(.)210,8210821082108…- 3,5210821082108…= 35text(.)207,3`. En dus `a = 35text(.)207,3//9text(.)999 = (352text(.)073)/(99text(.)990)`. Duidelijk een rationaal getal.
Wat heb je nu gezien?
In het volgende stuk bekijk ik of er eigenlijk wel irrationale getallen zijn. En, zo ja, hoe die eruit zien.
Iedereen die tot hier heeft gelezen kent vermoedelijk wel `sqrt(2)` als voorbeeld van een irrationaal getal. En `pi`. En misschien `text(e)`. Maar dat is nog helemaal niet zo gemakkelijk in te zien. Dat `sqrt(2)` niet rationaal was wisten de oude Grieken al, maar dat `pi` en `text(e)` ook irrationaal zijn was vele jaren een onbewezen vermoeden en werd pas in de 18e eeuw voor het eerst bewezen – en dat bewijs vergt behoorlijk wat stevige wiskunde. Zoveel dat ik dat hier weglaat.
Maar waarom is `sqrt(2)` niet als een breuk te schrijven? Het verhaal erachter de ontdekking gaat duizenden jaren terug toen iemand beredeneerde dat zoiets eenvoudigs als de lengte van de diagonaal van een vierkantje van `1` bij `1` - volgens Pythagoras is die lengte `sqrt(2)` - geen breuk kan zijn. Met andere woorden, dat er getallen bestaan die niet-rationaal zijn. Dat was een grote schok voor de Grieken die dachten dat alle getallen gebaseerd waren op nette verhoudingen tussen gehele getallen.
Een mooi bewijs van die irrationaliteit is het volgende.
Stel `sqrt(2)` is wèl als een breuk te schrijven, zeg als `a/b` met `a` en `b` beide geheel. En kies `a` en `b` zo dat de breuk `a/b` niet verder te vereenvoudigen is. Dat betekent dat a en b de kleinste gehele getallen zijn met als eigenschap `a/b = sqrt(2)`. Ik zal laten zien dat dit tot een tegenspraak leidt en dat dus die veronderstelling onjuist moet zijn.
Als `a/b = sqrt(2)` dan geldt `(a^2)/(b^2) =2` (kwadrateren) en dus `a^2=2 b^2 `.
Als je `a^2` ziet als de oppervlakte van een vierkantje met zijde `a` en `b^2` als een vierkantje met zijde `b`, dan kun je het voorgaande zo tekenen:
Nu leg ik de vierkanten over elkaar heen. De beide blauwe vierkanten samen zijn even groot als de rode, dus moet alles wat onbedekt is (wit) even groot zijn als het stuk dat dubbel bedekt is (donker blauw). Dus de twee witte vierkantjes zijn samen precies even groot als de donkerblauwe.
En daar zit de tegenstrijdigheid: hier zie je kleinere vierkanten die aan die eigenschap voldoen dat de grootste even groot is als de twee kleinere samen. En dat betekent dat ons uitgangspunt (`sqrt(2)` is als breuk te schrijven) niet waar kan zijn.
De verzameling `QQ` heeft een aantal prettige eigenschappen. Zoals: als je twee rationale getallen neemt en die bij elkaar optelt of aftrekt, dan krijg je weer een rationaal getal. En dat is ook zo als je die getallen vermenigvuldigt of deelt. Je komt dus, met de normale bewerkingen nooit ‘buiten’ `QQ` terecht.
Bedenk dat dat anders is dan bij de natuurlijke getallen. Daar gaat het al mis bij aftrekken, want `4 – 5` heeft geen antwoord binnen `NN`. En bij de gehele getallen `ZZ` gaat het mis bij delen. In `QQ` gaat het ‘pas’ mis met de bewerking worteltrekken, zoals we zagen bij `sqrt(2)` .
Voor normaal gebruik is `QQ` een heel geschikte verzameling getallen - praktisch volstaan de decimale getallen met een paar decimalen. En bovendien: elke rekenmachine of computer kan alleen maar werken met rationale getallen en dat lijken ze aardig te doen, voor alledaags gebruik.
Er is geen eigen symbool voor de irrationale getallen. Dat verraadt al een beetje dat die irrationale getallen een wat vreemde verzameling vormen. Meestal wordt die verzameling aangeduid met `RR\\QQ`, dus: reëel, maar niet rationaal.
Met getallen uit `RR\\QQ` kun je de bewerkingen `+, -, *, //` doen, maar het antwoord komt niet altijd in `RR\\QQ` terecht. Zelfs bij het optellen en aftrekken kan het al mis gaan: `1 + sqrt(2)` is duidelijk een irrationaal getal, maar als je het optelt bij `2 - sqrt(2)` (ook irrationaal) dat komt er `3` uit en dat is duidelijk geen irrationaal getal.
Wacht even, ik ga er vanuit dat een rationaal getal opgeteld bij een irrationaal getal een irrationaal getal oplevert. Is dat wel altijd zo? Ja, dat is altijd zo. Want, neem een irrationaal getal `a` en tel dat op bij het rationale `p/q`. En stel dat de som rationaal is, dan kan ik dus `a + p/q` schrijven als een rationaal getal `r/s`. Maar dat zou betekenen dat `r/s-p/q=a` geen rationaal getal is en dat is niet waar. Want `r/s –p/q=(rq)/(qs)-(ps)/(qs)=(rq-ps)/(qs)` en dat is duidelijk wel een rationaal getal.
Met een vergelijkbare redenering kun je zien dat: irrationaal `*` rationaal geeft irrationaal, behalve als het rationale getal `0` is. En: irrationaal `/` rationaal zowel als rationaal `/` irrationaal geeft irrationaal.
Ik had al laten zien dat irrationaal `+` irrationaal een rationaal antwoord kan hebben. Geldt dat ook voor irrationaal `*` irrationaal? Ja natuurlijk: denk maar aan `sqrt(2)* sqrt(2)`.
Tussen elk tweetal rationale getallen liggen oneindig veel irrationale getallen. Bewijs: `(sqrt(2))/2 ~~ 0,707…` ligt duidelijk tussen `0` en `1`, dus voor elke `n in NN, n >1` geldt dat `(sqrt(2))/(2n)` tussen `0` en `1` ligt én een irrationaal getal is, want de uitkomst van de vermenigvuldiging van een irrationaal getal met een rationaal getal .
Voor twee rationale getallen `a` en `b`, `a lt b` geldt dan dat `a lt a+ (b-a)*(sqrt(2))/(2n) lt b` en `a+ (b-a)*(sqrt(2))/(2n)` is irrationaal. Voor elke `n in NN, n >1`, dus dat zijn er nog al wat.
Ik beweerde dat de getallenlijn blauw zou kleuren van alle irrationale getallen, ondanks de oneindig vele rode rationale. Is hiermee mijn bewering aangetoond? Nog niet. Daarvoor heb je nog een andere redenering nodig die laat zien dat er veel meer irrationale getallen zijn dan rationale getallen.
Het concept van oneindig, oneindig groot, oneindig veel, is al heel oud. Een intuïtief idee van oneindig heeft een kind al - dus lijkt het niet zo ingewikkeld. Maar toch… Oneindig lijkt een enorm groot aantal, maar dat is het niet. Oneindig is geen aantal. Het gedraagt zich niet als een getal en voldoet niet aan de elementaire eigenschappen die we aan een getal toedenken. Denk maar aan: `a + 1 gt a` geldt niet als `a` oneindig groot is.
Om greep op deze materie te krijgen is in de 19e eeuw het begrip aftelbaar geïntroduceerd in het kader van het aantal elementen van verzamelingen. Een verzameling is aftelbaar als je de elementen daarvan (in gedachten) op een rijtje kunt zetten en kunt gaan tellen en dat dan elk element in principe aan de beurt komt. De gemakkelijkste voorbeelden zijn eindige verzamelingen zoals het aantal boeken in mijn boekenkast of het aantal katten in Nederland. Lastiger wordt het voorstellen van tellen bij heel beweeglijke verzamelingen, zoals het aantal vissen in de Noordzee. Maar, je kunt daarbij altijd wel een bovengrens bedenken: schat het aantal km3 water in de Noordzee en deel dat door het volume van een klein visje. Bij echt oneindig grote verzamelingen, zoals de natuurlijke getallen, kun je begrijpen dat elk natuurlijk getal in dat proces van tellen een keer aan de beurt komt. Net zo: de verzameling gehele getallen - want als je die telt in deze volgorde: `0, 1, text(-)1, 2, text(-)2, 3, text(-)3, 4, text(-)4, …` dan komt elk positief en elk negatief geheel getal ooit een keer aan de beurt; maar het proces van tellen houdt nooit op. Aftelbare verzamelingen kunnen dus eindig maar ook oneindig groot zijn.
Hoe zit het met de aftelbaarheid van `QQ`?
Om dat in te zien is het volgende plaatje handig. Ik teken een spiraalvormig pad over de roosterlijnen, te beginnen bij `(0, 0)`, via `(1, 0)` naar `(1, 1)`, enz. De roosterpunten die ik achtereenvolgens langskom noem ik `A_0, A_1, A_2,…` Het is niet moeilijk in te zien dat je op deze wijze via het rode pad alle roosterpunten een keer aandoet. Blijkbaar is de verzameling roosterpunten aftelbaar. Maar dan is verzameling `QQ` ook aftelbaar, want bij elk roosterpunt `(a, b)` kun je de breuk `a/b` denken (sla wel de `x`-as steeds over vanwege de `b=0`). Elke denkbare breuk komt zo een keer aan bod.
Om met de deur in huis te vallen: de verzameling irrationale getallen is niet aftelbaar – en dat is op een ingenieuze manier aan het einde van de 19e eeuw bewezen door Georg Cantor.
Ik volg zijn redenering: Als je kunt aantonen dat de verzameling van alle getallen tussen `0` en `1` niet aftelbaar is, en de breuken tussen `0` en `1` zijn dat wel, dan moeten er niet aftelbaar veel irrationale getallen tussen `0` en `1` zijn.
Vul nu alle getallen met een eindig aantal decimalen in gedachten aan met een oneindig lange rij nullen: dus bijvoorbeeld `0,45` wordt `0,4500000…`
Stel dat er wel aftelbaar veel getallen tussen `0` en `1` zijn. Als die getallen aftelbaar zijn, dan kun je die in de volgorde zetten waarin je ze telt - die volgorde noem ik de startrij. Neem nu van het eerste getal uit de startrij de eerste decimaal, van het tweede getal de tweede decimaal en zo voort. En met die getallen schrijf ik de decimalen van een getal `a`. Zo ontstaat een getal tussen `0` en `1` met oneindig veel decimalen. Vervang nu in de reeks decimalen van `a` elke `0` door een `1`, elke `1` door een `2`, elke `2` door een `3`, …, elke `9` door een `0`. Dit resultaat getal is ongelijk aan het eerste getal uit de startrij, want de eerste decimaal van beide is verschillend. Maar dat getal is ook ongelijk aan het tweede getal uit de startrij omdat die in elk geval op de tweede decimaal verschillen. En, volgens hetzelfde argument ook ongelijk aan het derde getal uit de startrij, en zo voort. Zo construeer je een getal tussen `0` en `1` dat verschillend is van elk getal uit de startrij. We hadden in de startrij kennelijk niet alle getallen tussen `0` en `1`. Conclusie: ons uitgangspunt van de aftelbaar vele getallen tussen `0` en `1` was onjuist.
Er zijn dus onaftelbaar veel irrationale getallen tussen `0` en `1`, veel en veel meer dan rationale. Als je de rationale getallen op de getallenlijn rood maakt en de irrationale blauw, dan kleurt de getallenlijn niet rood, niet paars, maar blauw!
Math4all auteur: Jan Speelpenning
Zie ook:
» Irrationale getallen » Cantor
Links naar andere sites over dit onderwerp:
» Wikipedia over aftelbaarheid » Wikipedia over overaftelbaarheid
Ik wil mij aanmelden voor:
