Irrationale getallen

Eeuwenlang waren er geen andere getallen dan 1,2,3,4,5,...
Maar toch bestonden er lijnstukken waarvan de lengte niet zo'n getal was, zelfs niet als verhouding van die getallen was te schrijven. Dat betekent dat er lengtes zijn die eigenlijk niet exact als decimaal getal zijn te schrijven...
Inhoud:
Wortels
Het is alweer zo'n 2600 jaar geleden dat de Oude Grieken de stelling van Pythagoras bewezen. Maar daarmee haalden ze een enorm probleem in huis...
Ze kenden alleen natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4, enz.
En daarnaast wisten ze dat er verhoudingen bestonden: 7//3 bijvoorbeeld als verhouding van een lijnstuk met lengte 7 en een lijnstuk met lengte 3.
Maar neem eens een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 1 cm en 1 cm.
De schuine zijde (hypothenusa) is dan te berekenen uit:
c^2 = 1^2 + 1^2 = 2
c is dus een getal waarvan het kwadraat 2 is.
De kunst is nu om een getal te vinden waarvan het kwadraat 2 is. Voor de Oude Grieken bestond zo'n getal niet. Ze zochten naar de lengte van de zijde van een vierkant (kwadraat betekent vierkant) waarvan de oppervlakte 2 cm2 is.
Tegenwoordig noem je dat getal "wortel 2" en je schrijft: c = sqrt(2)
Dit getal is niet een natuurlijk getal, dus moest het wel een verhouding van twee natuurlijke getallen, zijn.
Iets anders was onbestaanbaar vond men in de Oudheid.
Nu alleen nog even de goede verhouding vinden...
De ontdekking van irrationale getallen
De Oude Grieken ontdekten dat NIET als een verhouding, niet als breuk kon worden geschreven! Omdat het woord "ratio" (Latijn) zoiets als "verhouding" betekent, worden getallen die je als breuk kunt schrijven wel rationale getallen genoemd. Het getal kon niet als breuk worden geschreven: het was een irrationaal getal.
Het bewijs dat irrationaal is, wordt toegeschreven aan de Pythagoreërs, de volgelingen van de grote Griekse wiskundige Pythagoras. Hier volgt het bewijs:
De irrationaliteit van
Stel is rationaal en dus te schrijven als
Dan is: en dus p^2 = 2q^2.
Dus p^2 moet deelbaar zijn door 2. Maar dan is .
Kennelijk is de breuk die voorstelt dan altijd te vereenvoudigen. |
Je ziet dat in dit bewijs gebruik wordt gemaakt van het feit dat als het kwadraat van een getal even is, dat getal zelf ook even is. Dit moet je dan natuurlijk wel eerst even hebben bewezen! Dat gaat zo:
- Een even getal a is een tweevoud: a = 2n.
Het kwadraat is a^2 = 4n^2 dus een viervoud.
Het kwadraat van een even getal is altijd even. - Een oneven getal b is geen tweevoud: b = 2n + 1.
Het kwadraat is b^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1
en dus een viervoud + 1. Het kwadraat van een oneven getal is altijd oneven.
Dit was voor de Oude Grieken een zeer problematische uitslag: was geen rationaal getal.
Zij noemden die getallen onmeetbaar en stelden ze voor als lengtes van lijnstukken.
Alleen konden ze in dit geval die lengte niet in een getal of een verhouding uitdrukken!
Hun hele rekenkunde werd mede daardoor meetkundig opgebouwd...
Werken met onmeetbare getallen
In de Oudheid ontdekten de Grieken dat er grootheden waren die ze wel konden construeren, maar niet konden beschrijven met natuurlijke getallen. Die constructies gingen met passer en liniaal door toepassen van de stelling van Pythagoras. Maar het uitdrukken als verhouding van twee getallen bleek onmogelijk.
In die tijd heetten die grootheden onmeetbaar.
en en waren onmeetbare grootheden, irrationale getallen zeg je tegenwoordig.
Omdat ze wel waren te construeren kon je er mee optellen en aftrekken als met lijnstukken. En vermenigvuldigen en delen ging ook door gebruik te maken van oppervlaktes. Zo werd de hele Griekse getaltheorie een meetkundig verhaal. Geen wonder dat ze nooit negatieve getallen ontdekten...
Maar ze leerden zichzelf wel met wortels rekenen. De gebruikte methoden werden dan meetkundig verklaard.
- sqrt(2) + sqrt(3) is meetkundig te construeren
- sqrt(3) + sqrt(3) = 2 sqrt(3) want het zijn twee gelijke lijnstukken, dus dan wordt de totale lengte 2 keer zo groot
- het kwadraat van sqrt(3) is 3, want dat is de oppervlakte van het vierkant waarvan sqrt(3) de zijde is
- sqrt(2) * sqrt(3) = sqrt(2 * 3) = sqrt(6) wat is af te leiden uit:
(sqrt(2) * sqrt(3))^2 = (sqrt(2))^2 * (sqrt(3))^2 = 2 * 3 = 6.
De Oudgriekse getaltheorie vind je helemaal uitgewerkt in "De Elementen" van Euklides.
Wortels benaderen
Hoewel wortels niet als breuk kunnen worden geschreven, kunnen ze wel worden benaderd met breuken. Omdat de stelling van Pythagoras al in de tijd van de Babyloniërs bekend was, bedachten die al manieren om wortels te benaderen. Bijvoorbeeld voor gingen ze zo te werk:
Maar tot ver in de Middeleeuwen bleef men proberen om wortels te benaderen met breuken.
De Italiaanse wiskundige Bombelli leidde in 1572 bijvoorbeeld af dat:
Deze kettingbreuk kun je oneindig ver voortzetten.
Je vindt zo redelijk snel een goede benadering.
Bombelli leidde deze kettingbreuk af door te beginnen met
sqrt(2) = 1 + 1/y.
Daaruit vond hij: y = 1 + sqrt(2).
(Daarvoor moet je wel wat rekenen met wortels, maar het is een aardige puzzel.)
Combineren van beide leidt tot: y = 2 + 1/y.
En dat kun je dat weer in de beginformule invullen.
Je krijgt dan het begin van de kettingbreuk, waarin je dan weer y = 2 + 1/y kunt invullen.
Zo bouw je stap voor stap de kettingbreuk op...
Toen het tientallig stelsel werd ingevoerd ontstond de behoefte om wortels door decimale getallen te benaderen. Bovendien was inmiddels door de Duitse wiskundige Christoff Rudolff in 1525 het wortelteken bedacht. De tijd was rijp voor een nieuwe aanpak die pas sinds de invoering van de elektronische rekenmachine in onbruik is geraakt.
De gebruikte techniek is gebaseerd op:
(a + b)^2 = a^2 + (2a + b)b
Het verdelen van het getal in groepjes van twee (vanaf de komma) is nodig omdat het kwadraat van een tiental een honderdtal, van een
honderdtal een tienduizendtal is, enzovoorts.
Bedenk verder zelf maar eens hoe deze techniek precies kan worden verklaard.
Probeer hem bovendien maar eens uit en ontdek hoe je zelf 'slimmer' bent dan je rekenmachine!
Er bestaan ook andere methoden om wortels te benaderen.
Bijvoorbeeld de inklemmethode.
Dan begin je met vast te stellen dat wortel 246 inligt tussen 15 en 16.
Vervolgens bekijk je het kwadraat van 15,5.
Dat is kleiner dan 246, dus ligt de wortel tussen 15,5 en 16.
Dan probeer je het gemiddelde van 15,5 en 16.
Het kwadraat daarvan is meer dan 246, dus... enz.
Wortels en machten
Wortels hebben alles te maken met kwadraten. En dus komen ze voor als oplossingen van vergelijkingen met kwadraten.
Maar er zijn ook vergelijkingen waar derde machten, vierde machten en dergelijke, in voorkomen.
Daarbij horen hogere machts wortels.
Bijvoorbeeld:
- root[3](8) = 2 want 2^3 = 8
- root[4](2401) = 7 want 7^4 = 2401
Door inklemmen kun je hogere machts wortels berekenen of benaderen. Meestal gebruik je er een rekenmachine voor.
Er is nog een verband tussen wortels en machten: wortels kun je schrijven als machten met gebroken exponenten. Kijk maar:
en ook
Dit betekent, dat:
Op deze manier is elke wortel een macht met een breuk
als exponent. En zo heb je toch een manier gevonden om
wortels met een breuk weer te geven.
En tussentijds heb je de irrationale getallen
leren kennen...
Math4all