Hilbert

De tijd van Hilbert

Hilbert leefde in een tijd van het opkomende Duitse nationalisme. De Duitse staten werden onder Bismarck verenigd tot één Rijk dat in Europa een machtige staat begon te worden. Onvermijdelijk kwam dit Duitse Rijk daarmee in conflict met Frankrijk en Engeland die al eerder een gevestigde grootmacht waren geworden. Deze conflicten leidden uiteindelijk tot de Eerste Wereldoorlog (1914 - 1918).
Een gevolg van het Duitse, Franse en Engelse nationalisme was, dat universiteiten en hun status belangrijk waren voor een natie. De wetenschap bloeide daarom. Het is de tijd van grote natuurkundigen als Maxwell, Lorentz, Planck, Einstein en van grote wiskundigen als Poincaré, Minkovsky, Cantor, Hilbert zelf, en anderen...

Na de door Duitsland verloren Eerste Wereldoorlog bleef Göttingen een tijdlang nog de toonaangevende universiteit in wiskundeland met bekende namen als Hilbert zelf, Landau en R. Courant. Ook de beroemde Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer was een geregeld bezoeker, maar verkoos er in 1919 voor om het aanbod van Hilbert om naar Göttingen te komen af te slaan en in Amsterdam te blijven.
Wel wist Hilbert de bekende vrouwelijke wiskundige Emmy Noether naar 'zijn' universiteit te halen. Eerst mocht ze (omdat men geen vrouwelijke wiskundige wilde hebben) er van de faculteitsleiding alleen lessen geven die op naam van Hilbert stonden, later werd ze toch als 'Privatdocent' benoemd. Beroemde studenten van Hilbert zijn Hermann Weyl en Ernst Zermelo, maar ook de beroemde schaker Emanuel Lasker.
Na Hilbert's pensionering in 1930 ging het met de universiteit van Göttingen snel bergafwaarts: onder druk van Hitler's Nazi-regime (1933) moesten de Joodse wiskundigen Landau, Gordan en Emmy Noether vertrekken en bovendien vertrokken een aantal wiskundigen vrijwillig naar het buitenland. Hilbert zelf besloot in 1934 om de universiteit niet langer te bezoeken...

 

 

 

Over Hilbert

David Hilbert is geboren op 23 januari 1862 in Königsberg in het voormalige Duitse Oost-Pruisen (het tegenwoordige Kaliningrad in Rusland). Zijn vader Otto was rechter en zijn moeder was huisvrouw, maar hed een bijzondere belangstelling voor astronomie en filosofie. David bezocht het gymnasium in Königsberg en ging er daarna naar de universiteit. Daar studeerde hij wiskunde. In 1885 studeerde hij af bij professor Lindemann en behaalde hij zijn doctoraal (zijn Masterstitel) met een proefschrift getiteld "Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen" (Over invariante eigenschappen van speciale binaire vormen, in het bijzonder van bolfuncties). Eén van zijn medestudenten en een goede vriend was Hermann Minkovsky. Hilbert en Minkovsky zouden elkaar sterk beïnvloeden.

 

Na zijn studie werd hij benoemd aan de universiteit van Königsberg, eerst als gewoon docent, later als buitengewoon hoogleraar. In 1892 trouwde hij met Käthe Jerosch en een jaar later kregen zijn hun enige kind: een zoon Franz. Datzelfde jaar vertrok Lindemann naar Berlijn en werd Hilbert zijn opvolger als gewoon hoogleraar. Hij haalde Minkovsky over om er als zijn assistent te komen werken. Hilbert begon er (op verzoek van het Duitse wiskundige genootschap) te werken aan zijn "Zahlbericht", een standaardwerk over algebraïsche getaltheorie, gebaseerd op resultaten die de Duitse wiskundigen Kummer, Dedekind en Kronecker al eerder hadden ontdekt en waaraan hij eigen ontdekkingen en werk van Minkovsky aan toe voegde. Het boek verscheen in 1897.

 

In 1895 kreeg Hilbert (op voorspraak van de Duitse wiskundige Felix Klein) een hoogleraarschap aan de universiteit van Göttingen, waar hij de rest van zijn leven zou werken. Daar begon hij ook aan zijn "Grundlagen der Geometrie" over de grondslagen van de meetkunde. De meetkunde wordt in dat werk strikt vanuit axioma's opgebouwd. Dit gebeurde zo zorgvuldig, dat op iedere plek de grondbegrippen "punt", "lijn" en "vlak" door willekeurige andere begrippen kunnen worden vervangen. Dit werk is na Euklides' "Elementen" wel het belangrijkste boek over de opbouw van de meetkunde.

 

Hilbert werd mede door deze twee werken één der leidende wiskundigen van de wereld. Hem werd dan ook gevraagd een lezing te houden op het tweede Internationaal Mathematisch Congres dat in 1900 werd gehouden. Zijn lezing is wereldberoemd geworden en heeft tot op grote hoogte het wiskundig onderzoek in de twintigste eeuw bepaald. Hij zette er 23 openstaande wiskundige problemen uiteen en schreef daarmee een soort van onderzoeksprogramma voor de komende tijd. Daarmee wilde hij laten zien, dat de wiskunde nog lang niet "af" was!

In 1902 kon Hilbert bewerkstelligen dat ook Minkovsky in Göttingen kwam te werken, er werd een nieuwe leerstoel ingesteld. Hilbert studeerde in die tijd op de analyse: integraalvergelijkingen en "spectraalruimten" (die later "Hilbertruimten" zouden worden genoemd). Met Minkovsky werkte hij ook aan de theoretische natuurkunde, onder andere aan de wiskundige fundamenten waarop Einstein zijn relativiteitstheorie zou baseren. (Minkovsky had een tijdje in Zürich gewerkt, waar Albert Einstein één van zijn studenten was.) In 1909 overleed Minkovsky echter en kwam aan hun samenwerking een einde.
Hilbert was zodanig in beslag genomen door zijn onderzoek, dat zijn relatie tot zijn vrouw verslechterde toen hun zoon Franz zenuwinzinkingen kreeg. Hij trok zich eerder nog verder terug in zijn onderzoekingen en het geven van zijn (zeer populaire) colleges en liet het aan Käthe over om zich om Franz te bekommeren.

 

De Eerste Wereldoorlog (1914 - 1918) had ook zijn invloed op het leven van Hilbert. Hij weigerde bijvoorbeeld een pamflet te tekenen waarin vooraanstaande wetenschappers (zoals de natuurkundigen Röntgen en Planck en de wiskundige Klein) de oorlog steunden en achter de "Duitse zaak" te staan. Bovendien kreeg hij veel kritiek uit eigen land op zijn in memoriam voor de overleden Franse wiskundige Gaston Darboux: een groep studenten eiste dat het zou worden ingetrokken omdat je niets positiefs over een vijand mocht schrijven. Hilbert was zo boos dat hij met vertrek uit Göttingen dreigde, waarop de universiteitsleiding haastig zijn excuses voor het voorval aanbood.
Hilbert wist ook in de eerste jaren na 1918 de reputatie van Göttingen hoog te houden.

 

In 1930 ging hij (op 68-jarige leeftijd) met pensioen. Hij werd ereburger van Königsberg, maar bleef in Göttingen wonen. Bij zijn afscheidsspeech sprak hij de beroemd geworden slotwoorden: "Wir müssen wissen, wir werden wissen."
Na de opkomst van Hitler in 1933 werden veel belangrijke (Joodse) leden van de universiteit van Göttingen ontslagen of ze trokken naar het buitenland. Hilbert kon hiertegen niets meer doen, maar na 1934 verscheen hij nooit meer op de wiskundige faculteit.
In 1935 verscheen zijn verzamelde werk.
Hilbert overleed op 14 februari 1943.

 

 

 

Hilbert's belangrijkste werk

In het begin van zijn carrière hield Hilbert zich bezig met de theorie van de invarianten, van algebraïsche vormen die onveranderd blijven onder bepaalde afbeeldingen. Al in 1888 bewees hij zijn beroemde "basisstelling". Daarmee loste hij het belangrijkste probleem uit de invariantentheorie op. Vooral zijn aanpak (een zogenaamd "bewijs uit het ongerijmde") leverde hem de nodige kritiek op van andere wiskundigen, maar later werd zijn stelling toch algemeen aanvaard.

Vervolgens begon Hilbert in 1893 op verzoek van het Duitse wiskundige genootschap te werken aan "Zahlbericht", een standaardwerk over algebraïsche getaltheorie, gebaseerd op resultaten die de Duitse wiskundigen Kummer, Dedekind en Kronecker al eerder hadden ontdekt en waaraan hij eigen ontdekkingen en werk van Minkovsky aan toe voegde. Het boek verscheen in 1897.
Verder schreef hij vanaf 1895 aan zijn "Grundlagen der Geometrie" over de grondslagen van de meetkunde. De meetkunde wordt in dat werk strikt vanuit axioma's opgebouwd. Dit gebeurde zo zorgvuldig, dat men "op iedere plaats de begrippen punten, lijnen en vlakken moest kunnen vervangen door tafels, stoelen en bierpullen". Dit werk is na Euklides' "Elementen" wel het belangrijkste boek over de opbouw van de meetkunde.

 

In 1900 vond zijn toespraak voor het tweede IMC (International Mathematical Congress) plaats. Daarin beschreef hij de beroemde 23 onopgeloste problemen die de wiskunde in de twintigste eeuw voor een groot deel zouden beheersen. Bekende problemen zijn "het vermoeden van Goldbach", "het vermoeden van Riemann" en "de laatste stelling van Fermat" (in 1996 bewezen door Andrew Wiles). De meeste van de onopgeloste vraagstukken die Hilbert beschreef zijn inmiddels inderdaad opgelost, maar van sommige vermoedens ontbreekt tot op de dag van vandaag een sluiten en algemeen aanvaard bewijs...

 

Hilbert's werk op het gebied van de integraalvergelijkingen leidde vanaf ongeveer 1909 tot fundamenteel onderzoek op het terrein van de functionaalanalyse, de studie van de structuur van functies. Dit onderzoek legde de basis voor de studie van oneindig-dimensionale ruimten, later genaamd "Hilbertruimten", een basisbegrip dat bruikbaar is in de wiskunde en ook in de quantummechanica.
Gebaseerd op zijn werk op het gebied van de integraalvergelijkingen droeg Hilbert (samen met Minkovsky) bij aan de mathematische natuurkunde door zijn studie van de kinetische gastheorie en de stralingsleer. Hilbert bevestigde in een artikel uit 1915 de veldvergelijkingen voor de zwaartekracht en de algemene relativiteitstheorie van Einstein.

 

 

 

---

Math4all