Het getalbegrip

Cijfers

Onze cijfers hebben een lange ontstaansgeschiedenis. In eerste instantie werden cijfers vooral gebruikt voor het vastleggen van hoeveelheden – in essentie voor boekhouden en waren het resultaten van tellingen.
Dit is de notatie voor het getal `1234` die de Romeinen gebruikten: MCCXXXIV. Wat de Romeinse schrijfwijze mist is de mogelijkheid om te rekenen met de geschreven getallen. Bij XIX + XIV mag je niet zeggen: hier staan drie X-en, twee I-en en een V dus opgeteld staat er XXXVII. Getallen kunnen opschrijven is dus nog niet hetzelfde als er ook mee kunnen rekenen. Daarom is het gebruik van een telraam in veel landen tot ver in de 20e eeuw gangbaar geweest.
De nu wijd verbreide manier van het noteren van getallen – het positionele stelsel – heeft een enorm voordeel boven andere schrijfwijzen: het stelsel staat ook toe dat je kunt rekenen in dat stelsel. Dat is overigens niet voorbehouden aan het 10-tallige stelsel. In het, zeg, 12-tallige positionele stelsel gelden dezelfde rekenregels en methodiek voor optellen, aftrekken en vermenigvuldigen en delen en geven die dezelfde antwoorden maar dan wel geschreven in het 12-tallige stelsel.

 

 

 

Wil + hel = mus

Veel kinderen kunnen zo rond hun 3e jaar al een flink eind tellen: een, twee, drie, … tot tien of nog wel verder. Voor hen is dat vermoedelijk niet veel meer dan een soort versje opzeggen.
Wil, hel, mus, van, nas, souwe, ben, … of iets dergelijks zou hetzelfde effect opleveren: een uit het hoofd geleerd rijtje woorden, in vaste volgorde. Zo’n rijtje kun je gebruiken voor het verwoorden en de volgorde voor het ordenen van aantallen.

Dat wij tien van dergelijke woorden gebruiken zou te maken kunnen hebben met het feit dat we tien vingers hebben, maar daar is geen bewijs voor. Er zijn culturen geweest die tot `20` gingen (vingers en tenen?) en andere hoeveelheden, zoals `12` of `60`.
Voorbij de tien zou je natuurlijk kunnen doorgaan met het bedenken van een nieuw woord voor het volgende getal maar dat stuit op nogal praktische problemen. Hoe onthoud je al die woorden in de goede volgorde?
Handiger is het om nog wat woorden te maken voor grotere hoeveelheden en vervolgens combinaties of liever: constructies te maken.
Wij hebben in onze taal speciale woorden voor `100`, `1000`, `1text(.)000text(.)000` en nog een stelletje en de rest van onze getallen bestaat uit constructies. Bij woorden als drie-en-twintig; zeven en vijftig en tweehonderd is de constructie evident en in “twintig, dertig, veertig,…” zitten nog vrij duidelijk “twee drie en vier” verstopt en “tig” is blijkbaar een afgeleide van tien. Tig in de betekenis van “veel” is pas veel later in gebruik geraakt.

Als je naar de woorden voor `1`, `2`, `3`, …, `10`, `11`, `12` kijkt, dan valt het op dat elf en twaalf op een andere manier geconstrueerd lijken zijn dan de woorden dertien, veertien, vijftien, … Als de namen voor elf en twaalf respectievelijk een-tien en twee-tien waren geweest dan was die naamgeving consequenter. De eerste letters van elf en twaalf verraden nog wel een relatie met een en twee. Een theorie zegt dat de woorden elf en twaalf terug te voeren zijn op “een meer dan tien” en “twee meer dan tien”.
In ons omringende talen zie je hetzelfde terug: eleven twelve / elf zwölf. In het Frans gaat het rijtje “eigen” woorden na `10` nog door tot `16`: onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize - ook daar de relatie met de woorden voor `1` t/m `6` wel herkenbaar aan de eerste letters.

Op enig moment gaan alle talen over op geconstrueerde woorden voor de grotere getallen. In die constructies is het onderliggende talstelsel herkenbaar: vier-honderd-drie-en-zeven-tig.
In `(4)73` is onze uitspraak (vierhonderd) drieënzeventig wat inconsequent: in bijv. het Engels is die logischer: four hundred seventy three, consequent van groot naar klein.
Het Frans verraadt nog sporen van het tellen tot twintig: zo wordt `80` uitgesproken als quatre-vingts = vier (keer) twintig.

De kans is groot dat je het getal `78text(.)544text(.)965` nog nooit hebt gezien, maar je kunt het uitspreken, je hebt een idee van de grootte en je kunt zo een aantal eigenschappen noemen (zoals deelbaar door `5`, kleiner dan `80` miljoen, wat het eerstvolgende getal is en vast nog wel een paar).

 

 

 

Tellen en getalbegrip

Je kunt je afvragen of een begrip van getallen bij jonge kinderen af te leiden is uit hun vermogen tot `10` te tellen.
Het is gemakkelijker te beantwoorden als je de vraag stelt over gelijke hoeveelheden. Heel jonge kinderen pakken als vanzelfsprekend drie speelgoedbekertjes als ze spelen dat ze thee gaan drinken met een gezelschap van drie. Ze zien/weten/begrijpen dat de kinderen en de bekers “kloppen”.

Vanuit deze gedachte is de volstrekt abstracte wiskundige definitie van “drie” ontstaan: Als je kijkt naar deze verzamelingen bekers, kinderen en koekjes:

dan is “drie” de eigenschap die die verzamelingen gemeenschappelijk hebben.
Zo is “drie” dus een eigenschap die alle verzamelingen met evenveel elementen als deze verzameling gevulde koeken gemeenschappelijk hebben.

Maar wacht even, ik gebruik hier een nieuw begrip: “evenveel”. Wat is dat precies? Ook daar heeft de wiskunde (overigens na veel geruzie en lange discussies) een antwoord op gevonden: Als er een 1-op-1 relatie te bedenken is tussen de elementen van de ene en de andere verzameling, dan zijn er evenveel.
Maar, wacht even, wat is dan precies een “1-op-1 relatie”?
Hieronder is een 1-op-1 relatie getekend. Maak paren van steeds een element uit de ene verzameling en een element uit de andere, zo dat alle elementen aan de beurt komen. Dus bijv. een paar: de blauwe beker en het meisje met de groene jurk, nog een paar: de oranje beker met het jongetje met de rode broek, enz.

Dit concept van “evenveel” lijkt redelijk waterdicht gedefinieerd en te sporen met je intuïtie.
Alleen, het gaat mis als verzamelingen oneindig veel elementen hebben. Zo is het voor iedereen duidelijk dat er veel meer telgetallen zijn dan oneven telgetallen. Toch is er een 1-op-1 relatie te maken tussen beide verzamelingen: maak paren `(1, 1)`, `(2, 3)`, `(3, 5)`, `(4, 7)`, …
Algemeen: maak paren `(n, 2n-1)` waarbij `n` een telgetal is, en zie: bij elk telgetal is precies één oneven getal en omgekeerd, bij elk oneven getal precies één telgetal. Welk telgetal hoort bij `33`? Nou, `(33+1)/2 = 17`.
Blijkbaar is het begrip “evenveel” ingewikkelder dan je zo op het eerste gezicht zou denken.

 

 

 

---

Math4all Auteur: Jan Speelpenning