Gulden Snede

De Gulden Snede

De gulden snede is de verdeling van een lijnstuk in tweeën in een speciale verhouding. Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste.

Verschuif in de applet het punt `S`.
Als je nu zoekt naar de plek waar beide verhoudingen gelijk zijn, kom je uit op `1,61...`
Dit getal is het gulden getal.

Geef het grootste deel aan met `a` en het kleinste deel met `b`, dan is de verhouding van beide delen zo dat `a/b = (a+b)/a`.
De verhouding `a/b ~~ 1,618`
en dat getal is het gulden getal `varphi` (spreek uit: "fie").
Omdat `a/b = varphi`, is `a/b = (a+b)/a = a/a + b/a = 1 + b/a` te schrijven als `varphi = 1 + 1/varphi`.
Dit kun je herleiden tot `varphi^2 - varphi - 1 = 0`.
De oplossingen hiervan zijn `varphi = (1 +- sqrt(5))/2 = 1/2 +- 1/2 sqrt(5)`.
Het enige positieve antwoord hiervan is `varphi = 1/2 + 1/2 sqrt(5) = 1,618033989...`

De eerste die duidelijk over de Gulden Snede schreef was Euclides. In zijn "Elementen" geeft hij de eerst bekende definitie van de gulden snede, die hij aanduidde als "extreme en gemiddelde verhouding". De Italiaan Luca Pacioli schreef in 1509 over het werk van Euclides met betrekking tot deze verhouding. In zijn boek "De Divina Proportione" noemt Pacioli de gulden snede de goddelijke verhouding. En rond 1600 schreef Johannes Kepler over dezelfde verhouding. Maar pas Martin Ohm (Erlangen, 6 mei 1792 – Berlijn, 1 april 1872), een Duits wiskundige en de jongere broer van fysicus Georg Ohm, voerde in 1835 de benaming Goldener Schnitt (Gulden Snede) in om deze verhouding een naam te geven.
Enkele jaren later in 1854 publiceerde Arnold Zeising het boek "Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers". In dat boek beweert hij dat het ideale menselijke lichaam volledig volgens de Gulden Snede is opgebouwd. En sinds het begin van de vorige eeuw komt deze verdeling in diverse kunstvormen voor, onder invloed van pseudowetenschappelijke figuren zoals Prins Matila Ghyka. Daarna sijpelde de mythe van de gulden snede ook door in het kunstonderwijs.

De Gulden Rechthoek

Bekijk de rechthoek `AEFD` met daarin een vierkant `ABCD` en een kleinere rechthoek `BEFC`.
Als die kleinere rechthoek gelijkvormig is met de grote rechthoek, dan is `a/b = (a+b)/a`. Je hebt dan te maken met de gulden rechthoek waarvan lengte en breedte zich verhouden als lengte : breedte `= varphi : 1`.
Je krijgt steeds meer gulden rechthoeken als je binnen zo'n rechthoek weer een vierkant tekent op de breedte.

De "Mona Lisa", Leonardo Da Vinci's bekendste schilderij, zit op die manier vol met gulden rechthoeken.
Het totaal onbewezen verhaal gaat dat Leonardo da Vinci, als wiskundige, expres deze lijnen en verhoudingen in dit schilderij voegde om zo wiskunde en kunst te combineren.

De eerste en grootste gulden rechthoek krijg je wanneer je de breedte van de rechterpols tot aan de linkerelleboog gebruikt en je maakt daar een lengte bij tot aan het hoofd. Trek dan een horizontale lijn onder de kin van de ene zijde tot aan de andere zijde van de rechthoek.

Door steeds in de vierkanten binnen een gulden rechthoek een kwart cirkel te tekenen, krijg je de Gulden Spiraal.

Verhoudingen van het Parthenon

Er wordt vaak beweerd dat de verhouding van de gulden snede is gebruikt bij het ontwerp van het Parthenon, een bekende Griekse tempel op de Acropolis in Athene, hoewel ook daar geen enkel bewijs voor is. Het gebouw is nu een ruïne, maar vroeger was de bovenkant van het gebouw nog wat hoger. Dat kun je aan de zijkanten nog zien. De schuine lijnen geven aan hoe het gebouw er vroeger uitzag. Als je een rechthoek om de contouren van het gebouw tekent, krijg je een gulden rechthoek. Dat betekent dat de verhouding van de hoogte en de breedte van het gebouw gelijk is aan de gulden snede.

De modulor

De modulor is een maatsysteem bedacht door Le Corbusier en gebaseerd op het menselijk lichaam en de wiskunde. De hoogte van een man met opgeheven arm kan in delen worden verdeeld op punten die zijn positie bepalen: zijn voeten, zijn navel, zijn hoofd, zijn vingertoppen. Deze drie gedeeltes leveren een reeks uit de gulden snede.

Het principe van de gulden snede is hier gebruikt om twee rijen met afmetingen van de menselijke figuur op te stellen. De blauwe rij is gebaseerd op de hoogte van een staande man met opgeheven arm (`2260` mm). De rode rij is gebaseerd op de hoogte van een man gemeten van zijn voet tot het topje van zijn hoofd (`1829` mm).

Charles-Eduard Jeanneret, beter bekend als Le Corbusier, was een Franse architect uit begin twintigste eeuw. Hij geloofde dat deze maten architecten zouden helpen om gebouwen aan de behoefte van mensen aan te passen.

Ga na, dat de verhouding tussen de afstand van voet tot en met hoofd en de afstand van navel tot en met hoofd inderdaad de verhouding van de gulden snede is. Ga ook na dat de verhoudingen bovenbeen : knie, navel : bovenbeen en arm : borst ongeveer de gulden snede opleveren.

Verhoudingen in de natuur

Leonardo da Vinci maakte rond 1490 de wereldberoemde mens van Vitruvius. Die menselijke figuur precies past in een cirkel en een vierkant. De lengte van de zijde van het vierkant is precies gelijk aan de straal van de cirkel, vermenigvuldigd met het gulden getal `varphi`.

Maar in de natuur vind je de gulden spiraal nogal vaak terug.
Bekijk de volgende foto's maar eens.
Herken je de spiralen?

De rij van Fibonacci

De rij van Fibonacci is `1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...`
Elke term in de rij (vanaf de derde) ontstaat door zijn twee voorgangers op te tellen.

Maar maak nu eens een nieuwe rij door steeds een term uit de rij van Fibonacci te delen door zijn voorganger. Je zult zien, dat je het gulden getal steeds dichter gaat benaderen!

Het gulden getal is ook te benaderen met een kettingbreuk: `varphi = 1 + 1/(1+1/(1+1/(1+1/(...))))`.
Dit kun je direct afleiden uit `varphi = 1 + 1/varphi`.

---

Math4all