Grafieken en verandering, differentiaalrekening

Natuurlijk zagen mensen al in de vroege oudheid allerlei vormen van beweging: vallende voorwerpen, schuivende en glijdende voorwerpen, en wat dies meer zij...
De beschrijving van beweging was echter heel lang een onoplosbaar probleem. Tot zich de grote wiskundigen Newton en Leibniz onafhankelijk van elkaar er over bogen. Zij bedachten elk eenzelfde manier om verandering van plaats, snelheid en versnelling weer te geven.
Tegenwoordig heeft verandering, snelheid, e.d., nog veel meer betekenis gekregen: de snelheid van het downloaden, de snelheid van kostenstijgingen, etc.

Grafieken om beweging te vangen

De Franse kapelaan (en wiskundige) Oresme (1323 - 1382) bestudeerde de beweging van voorwerpen en bedacht een manier om die in een figuur weer te geven. Hij gaf de grootte van de snelheid aan met een lijnstuk: hoe groter de snelheid des te langer het lijnstuk. Die lijnstukken zette hij op een horizontale as die de tijd voorstelt.
Als de snelheid gedurende een bepaalde periode hetzelfde blijft, zijn de lijnstukken allemaal even lang. Zo ontstaat een rechthoek waarvan de oppervlakte (zo begreep Oresme) de afgelegde weg voorstelt.

Als de snelheid steeds met een vaste waarde toeneemt, worden de lijnstukken gelijkmatig langer. Er ontstaat dan een gebied onder een rechte lijn. De oppervlakte van dit (trapeziumvormige) gebied was ook nu de afgelegde weg. Oresme kon eenvoudig die oppervlakte en dus de afgelegde weg berekenen.
Hij was de eerste die een grafische voorstelling gebruikte. Zijn redeneringen waren echter nog zuiver meetkundig. Variabelen als t voor tijd en v voor snelheid kende hij niet. Het duurde nog meer dan 200 jaar voordat die stap werd gezet door Descartes en Fermat.

Formules voor krommen

Door de Franse wiskundige Viète (1540 - 1603) is het werken met letters voor onbekenden ingevoerd: klinkers voor variabelen en medeklinkers voor constanten. Hij hield zich echter vooral bezig met het oplossen van vergelijkingen en niet zozeer met het beschrijven van beweging.

Descartes (1596 - 1650) en Fermat (1601 - 1665) waren de eersten die krommen in het vlak gingen beschrijven met behulp van vergelijkingen, van formules. Met lineaire vergelijkingen met twee variabelen konden ze rechte lijnen beschrijven, met kwadratische vergelijkingen cirkels, parabolen, hyperbolen en ellipsen.
Descartes introduceerde de gewoonte om letters achter in het alfabet voor variabelen en voor in het alfabet voor constanten (parameters) te gebruiken. (Niemand vraagt zich nu nog af welke letters de variabelen zijn in de vergelijking `y = ax + b`.)
Ze bestudeerden manieren om extremen (toppen) en oppervlaktes onder dergelijke krommen systematisch te kunnen berekenen.

Fluxierekening van Newton

In 1669 schreef de Britse wiskundige Newton (1642/1643 - 1727) een korte verhandeling getiteld "De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas" ("Over analyse met behulp van vergelijkingen met een oneindig aantal termen"). Daarin staat eigenlijk het begin van zijn fluxierekening, die hij later in 1671 beschreef in "Methodus Fuxionem et Serierum Infinitarum". Beide geschriften zijn pas veel later (resp. 1711 en 1736) gepubliceerd.

Het ging Newton bij zijn fluxierekening om het beschrijven van beweging, snelheid en versnelling. Hij redeneerde daarbij (in modernere notatie opgeschreven) ongeveer als volgt:

Als de plaats `x` van een punt met de tijd `t` verandert, heette `x` een fluent. De bijbehorende snelheid heette de fluxie, wat Newton aangaf door een `x` met een punt erboven. De bijbehorende versnelling werd aangegeven door een `x` met twee punten erboven.
Als de snelheid met de tijd verandert, kun je er een grafiek bij tekenen met de tijd `t` op de horizontale as. De oppervlakte onder die grafiek is dan de afgelegde weg `x(t)`.
Stel dat voor die afgelegde weg een formule geldt als `x = a * t^p`.
Deze formule geldt dan voor de oppervlakte onder de grafiek. Als de tijd nu met een oneindig klein stapje `o` toeneemt, dan verandert de tijd in `t+o` en de oppervlakte in
`a * (t+o)^p`.
Met behulp van het door hemzelf ontwikkelde binomium van Newton liet hij zien, dat:
`a * (t+o)^p = a * t^p + p * o * a * t^(p-1) + ...`
waarin op de stippeltjes termen staan waarin `o^2`, `o^3`, etc., voorkomen.
De fluxie, de snelheid, is de toename van de afgelegde weg per tijdseenheid dus:

$\dot{x} = \frac{a t^{p} + o \cdot p \cdot a t^{p - 1} + ... - a t^{p}}{o} = p \cdot a t^{p - 1}$

omdat alle termen waar na het delen nog `o` in voor komt `0` zijn (immers `o` stelde een oneindig kleine stap voor).

In feite heeft Newton op deze manier een regel voor het differentiëren afgeleid. Wij zouden de fluxie de afgeleide van de fluent (de functie `x(t)`) noemen. De notatie met de punten boven de functie wordt tegenwoordig eigenlijk nooit meer gebruikt. Wij gebruiken notaties die door Leibniz zijn bedacht.

Newton zag bovendien dat het omgekeerde proces (waarbij je uitgaat van een formule voor de fluxie) leidt tot een methode om de oppervlakte onder een grafiek te berekenen. Wiskundigen noemen dat tegenwoordig integreren.
Daarmee werd ineens een methode gevonden om allerlei kwadratuur vraagstukken aan te pakken, waarin het gaat om het berekenen van de oppervlakte van het vierkant (kwadraat) dat dezelfde oppervlakte heeft als de oppervlakte onder een bepaalde kromme.

Onafhankelijk van Newton vond Leibniz enkele jaren later hetzelfde, maar vanuit een heel ander blikveld en met notaties die heel anders zijn. Leibniz publiceerde zijn resultaten echter eerder dan Newton en dit leidde tot een langdurige strijd over wie nu de bedenker van de differentiaal- en integraalrekening was.

Differentialen van Leibniz

De Duitse wiskundige Leibniz (1646 - 1716) ontwierp onafhankelijk van Newton de differentiaal- en integraalrekening, waarover hij in 1684 in het tijdschrift Acta Eruditorum (uitgegeven in Leipzig) zijn ideeën uiteenzette in het artikel "Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus" (nieuwe methoden om maxima en minima te berekenen m.b.v. hellingwaarden). Leibniz benaderde het probleem op een manier die tegenwoordig in de wiskunde nog heel veel wordt gebruikt, in tegenstelling tot de fluxierekening van Newton die in onbruik is geraakt.
Leibniz berekende de helling van een raaklijn op een wijze die in deze korte animatie is te zien: de rode lijn verandert in de raaklijn aan de grafiek in de zwarte punt, doordat de rode punt beweegt tot hij op de zwarte punt terecht is gekomen. De notatie `(text(d)f)/(text(d)x)` voor de helling van de raaklijn aan de grafiek van functie `f` in het punt `(x, f(x))` gebruiken veel wiskundigen nog steeds, hoewel ook de notatie `f'(x)` veel wordt gebruikt. Later in 1686 zette Leibniz dit werk voort met een artikel over integreren.

Differentiaalrekening en functies

Na het ontwikkelen van de differentiaalrekening ontstond in de wiskundewereld een enorme activiteit op het gebied van formules (functies) en het berekenen van de bijbehorende veranderingen en extremen.
Vooral de Zwitserse familie Bernoulli en de Duitse wiskundige Euler hebben veel bijdragen op dit gebied geleverd. Veel van de wiskunde rond dit onderwerp die je tegenwoordig in het voortgezet onderwijs leert is van hen afkomstig.

Math4all