Al jaren loop je er in de bovenbouw tegenaan: Als je de goniometrische functies wilt gaan invoeren (vaak met de eenheidscirkel) dan lijkt het wel alsof de goniometrie die in de onderbouw is aangeleerd in de weg zit.
Hoezo kan een sinus of een cosinus negatief zijn, denken de leerlingen die zijn geïndoctrineerd met zaken als sinus = overstaande rechthoekszijde / schuine zijde binnen een rechthoekige driehoek? Of – nog erger – met SOSCASTOA.
Die beperking tot de rechthoekige driehoek zorgt ervoor dat het denkschema dat onderbouwleerlingen wordt aangeleerd, maar lastig uit te breiden is. Je moet het mogelijk negatief kunnen zijn van sinus en cosinus (en de betekenis ervan) nog helemaal opbouwen. En dan heb je - net als bij het introduceren van het begrip negatief getal - een flinke klus. Maar hoe moet je dit dan anders aanpakken?
Probleem: Hoe kun je het beste de begrippen sinus en cosinus opbouwen?
Eerst maar eens kijken wat de begrippen sinus en cosinus nou precies inhouden.
Kenmerkend voor situaties waarin ze nodig zijn, is de combinatie van lengtes (afstanden) en hoeken om andere lengtes en afstanden te berekenen. Het gaat derhalve om de combinatie van afstand en richting, hoek. Hét begrip dat die twee zaken combineert is het vectorbegrip. Dit begrip is essentieel bij de introductie van de goniometrie. En dan heb je al heel snel te maken met zaken als positief of negatief en misschien zelfs draairichting.
En dat lijkt voor leerlingen van klas 3 nog best wel veel tegelijk. Terwijl je SOSCASTOA er zo in ramt…
Maar dan moet je je beperken tot situaties waarin die OS en die AS ook betekenis hebben, kortom tot werken binnen rechthoekige driehoeken. Dan heb je gelukkig niet meer te maken met positief en negatief en draairichtingen van hoeken, maar je denkschema raakt beperkt.
En dan te bedenken dat er erg voor de hand liggende situaties zijn waarin je sinus en cosinus als het ware meteen voorbij voelt komen.
Denk maar eens aan de typisch Nederlandse wedstrijd “tegen de wind in fietsen”. En sowieso het dagelijkse van huis naar school fietsen en weer terug. Een context die bijna iedereen wel kent.
Bijna altijd fiets je in een bepaalde richting en heb je de wind (schuin) voor of tegen. Die wind ervaar je als een snelheid die vanuit een bepaalde hoek op jouw eigen voortbeweging werkt. Je kunt de wind daarom aangeven met een pijltje van een bepaalde lengte (de snelheid) en richting (de hoek met jouw voortbewegingsrichting).
En hiermee is het mogelijk om het vectorbegrip en de begrippen sinus en cosinus naadloos in te voeren.
Er is namelijk duidelijk sprake van een centrale richting, de richting waarin je fietst. Daarmee maakt de vector die de wind voorstelt, een hoek. De impact van die wind op de fietser zijn de twee componenten:
Deze componenten hebben bij een eenheidsvector de namen cosinus (de centrale component) en sinus (de zijwaartse component) gekregen. Bij een windvector van lengte `r` en hoek `alpha` krijg je dan deze figuren:
En nu kunnen sinus en cosinus zowel positief als negatief zijn:
Dit model om goniometrie op te zetten is intuïtief duidelijk.
En er zijn modellen waarin je zelfs het concept kracht niet nodig hebt. Die zijn misschien nog eenvoudiger in het gebruik. Ze hebben in dat opzicht zelfs mijn voorkeur.
Om te beginnen zou het nuttig zijn om al bij voorafgaande onderwerpen af en toe met vectoren te werken. Dat kan bijvoorbeeld al bij het invoeren van negatieve getallen, maar zeker ook bij het werken met coördinaten in een assenstelsel. De leerlingen zijn dat al enigszins vertrouwd met dit begrip. Wellicht is het ook in de natuurkunde al eens voorbij gekomen.
Je kunt het model van centrale richting met twee componenten (een centrale en een zijwaartse component) vorm geven door eerst leerlingen te laten werken met plaatjes waarin je de vector altijd een lengte van `1` dm geeft en ze de twee componenten bij diverse hoeken laat bepalen door meten. (Je kunt ook een applet zoals deze aanbieden waarin die twee getallen automatisch worden gegenereerd.)
Daarna ga je die begrippen benoemen. En dan doe je vergelijkbare opgaven nog een keer, maar nu met de kreten sinus en cosinus erbij. Maak nog eens extra duidelijk wanneer je dan positieve en negatieve waarden hebt. In feite heb je nu – zonder dit te noemen, maar waarom zou je het niet noemen – de eenheidscirkel ingevoerd.
Eigenlijk is dit alles: de begrippen sinus en cosinus zijn meteen goed gedefinieerd, er is geen beperkend denkschema aangebracht. Nu kun je gaan kijken naar toepassingen.
Werken in rechthoekige driehoeken is zo’n toepassing:
Het invoeren van de tangens is ook zo’n toepassing:
Deze zaken zijn allemaal in de onderbouw van het HV en in het VMBO prima te doen. En als je e.e.a. op deze wijze invoert ook conceptueel heel eenvoudig te begrijpen.
Het zal uit het voorgaande duidelijk zijn dat ik voorstander ben van een totaal andere aanpak van het opbouwen van de goniometrie. Het lijkt me heel logisch om goniometrie vanaf het begin te koppelen aan het concept vector. Daarmee wordt het begrip van sinus en cosinus (en later tangens) op veel natuurlijker wijze geïntroduceerd dan nu het geval is en wordt de belangrijke koppeling van lengte en hoek via het vectorbegrip sterk benadrukt. Dit levert winst op voor het later uitbreiden van het denkschema “goniometrie” naar de latere goniometrische functies en naar radialen.
Bovendien is het vectorbegrip – zeker in de wiskunde en de natuurkunde – een belangrijk fundamenteel begrip.
En tenslotte kunnen we de ezelsbrug SOSCASTOA ook echt aan ezels overlaten, hoewel ik die belangrijke groep dieren hiermee zeker niet tekort wil doen.
Math4all
Links over dit onderwerp:
» Wikipedia over het Britse "School Mathematics Project" waar de geschetste aanpak voor het eerst is uitgewerkt (Engelstalig) » Math4all: Goniometrie (dit is de versie voor 3V, er is er ook één voor 3H en er komt één voor 3VMBO)
Ik wil mij aanmelden voor:
