Gauss

De tijd van Gauss

Gauss wordt geboren in een tijd waarin de Franse Revolutie en de oorlogen tussen Napoleon en Engeland, Pruissen en Rusland het gehele West-Europese landschap beheersten. Duitsland bestond niet als eenheid, maar als een min of meer losse verzameling van Duitstalige staten. Daarvan was Hannover er één. De Duitse staten waren onder aanvoering van Pruissen met het Frankrijk van Napoleon in oorlog. Gauss heeft daar weinig van gemerkt, behalve dan de dood van zijn weldoener de hertog van Brunswick-Wolfenbüttel (1735 - 1806) in de strijd tegen de Fransen. In 1821 werd Napoleon verslagen bij Waterloo.

Na 1800 ontstond in West-Europa langzamerhand de nationale staat als organisatievorm. De macht van de adel was tanende, er kwam ambtenarij voor in de plaats. Je kunt je voorstellen dat het voor veel staten belangrijk was om een duidelijk beeld te hebben van hun grondgebied. Zeker na het verslaan van Napoleon hadden veel Duitse staten belang bij het vaststellen van hun preciese grenzen. Vandaar dat de landmeetkunde en de opbouw van een landmeetkundig net van meetpunten in die tijd in opkomst was. Ook Gauss heeft zich een groot deel van zijn leven bezig gehouden met positiebepaling op aarde. Daarbij gaat het dan om meetkunde op een boloppervlak en dan geldt de klassieke meetkunde van Euklides niet meer. Vandaar dat in die tijd de niet-Euklidische meetkunde ontstond.

 

 

 

Over Gauss

Carl Friedrich Gauss is op 30 april 1777 in Brunswick geboren. Al op zevenjarige leeftijd verbaasde hij zijn onderwijzer van de basisschool door de getallen `1` t/m `100` op te tellen door in de gaten te hebben dat de uitkomst precies `50` keer `101` is.
In 1788 ging hij naar het gymnasium om Hochdeutsch en Latijn te leren. Met een toelage van de Hertog van Brunswick-Wolfenbüttel kon Gauss in 1792 aan het Collegium Carolinum in Brunswick (tegenwoordig: Braunschweig) zijn studie voortzetten. Tijdens zijn studie aan deze academie ontdekte hij op eigen kracht onder andere het binomium van Newton, het rekenkundig en het meetkundig gemiddelde en de priemgetallenstelling (elk geheel getal is het product van priemgetallen).

 

In 1795 ging Gauss studeren aan de universiteit van Göttingen. Daar maakte hij kennis met Farkas Bolyai, een medestudent waarmee hij vele jaren bevriend bleef en brieven uitwisselde. Weliswaar verliet Gauss de universiteit zonder diploma, maar toen had hij al één van zijn belangrijkste ontdekkingen gedaan: de constructie van een regelmatige 17-hoek met passer en liniaal. Dit was toentertijd de belangrijkste ontwikkeling in de vlakke meetkunde sinds de Oude Grieken. Gauss publiceerde het resultaat als deel VII van zijn beroemde werk "Disquisitiones Arithmeticae". In 1799 keerde Gauss terug naar Brunswick. De Hertog van Brunswick verlengde zijn toelage, zodat Gauss zich geheel aan wetenschappelijk onderzoek kon wijden en een verhandeling kon schrijven over de hoofdstelling van de algebra die hem de doctorsgraad opleverde.

 

Gauss publiceerde in 1801 zijn boek "Disquisitiones Arithmeticae". Van de zeven secties waarin dit boek was onderverdeeld gingen de eerste zes over getallentheorie, het zevende over de eerder genoemde constructie in de vlakke meetkunde.
Gauss bemoeide zich intussen ook met sterrenkunde. De planetoïde Ceres was in januari 1801 ontdekt door G. Piazzi, een Italiaans astronoom, die echter maar een klein gedeelte van de baan van Ceres had kunnen observeren. Gauss paste een speciale techniek toe (de methode van de kleinste kwadraten) om die baan verder te berekenen en zijn voorspelling bleek op 7 december 1801 (toen een andere astronoom Ceres weer te zien kreeg) goed te kloppen. Verder raakte hij bevriend met de astronoom Olbers, die de plantoïde Pallas ontdekte.

 

Gauss trouwde in 1805 met Johanna Ostoff, waardoor hij (voor het eerst) een gelukkig familieleven kende. Echter in dat jaar werd zijn weldoener de Hertog van Brunswick, die in het Pruissische leger vocht tegen Napoleon, gedood.
Gauss was nu gedwongen om werk te zoeken. In 1807 verliet hij dan ook Brunswick en werd directeur van het observatorium van Göttingen, dat nog in opbouw was. De jaren daarna verliepen echter moeizaam: in 1808 stierf Gauss' vader en een jaar later stierf zijn vrouw in het kraambed bij de geboorte van zijn tweede zoon, die echter kort daarna ook overleed. Gauss was hierdoor erg aangeslagen en trok een tijdje bij Olbers in. Hij trouwde nog datzelfde jaar met Minna (een vriendin van zijn eerste vrouw) en bouwde daarmee een nieuw gezinsleven op.

Intussen werkte Gauss ogenschijnlijk gewoon door. Zijn tweede boek "Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium" ging over de banen van hemellichamen. In het eerste deel beschreef hij de achterliggende differentiaalvergelijkingen en de elliptische banen die daar als oplossingskrommen uit ontstonden. In het tweede deel liet hij zien hoe deze banen konden worden aangepast de werkelijke banen. Gauss bleef doorwerken aan de theoretische sterrenkunde tot ongeveer 1817.

In 1816 was het observatorium in Göttingen, waar Gauss veel van zijn tijd in stopte, af. Intussen publiceerde hij ook boeken over andere wiskundige onderwerpen zoals: oneindige rijen en reeksen, de hypergeometrische kansfunctie, benaderingsmethoden van integralen, statistische schattingsmethoden, geodetische (landmeetkundige) berekeningen.

 

In 1818 werd Gauss gevraagd om een geodetisch onderzoek te doen van de Duitse staat Hannover, ten einde dit te kunnen aansluiten bij het landmeetkundig netwerk van Denemarken (waar toentertijd ook Schleswig-Holstein bij hoorde en dat dus tegen Hannover aan lag). Gauss accepteerde die klus, verrichtte overdag metingen die hij 's avonds verwerkte. Hij schreef regelmatig met Olbers en andere wiskundigen over zijn vorderingen en de problemen die hij tegenkwam.
Als hulpmiddel vond Gauss de heliotroop uit, een apparaat dat werkte door weerkaatsing van zonnestralen met behulp van spiegels en een kleine telescoop. Met zijn theoretische beschouwingen over geodesie won Gauss in 1822 de prijs van de universiteit van Kopenhagen. Deze onderzoekingen leidden veel later tot het boek "Untersuchungen über Gegenstände der Höheren Geodäsie" (1843 en 1846).

 

Al vanaf 1800 was Gauss geïnteresseerd in het bestaan van een niet-Euklidische meetkunde. Zijn landmeetkundige bespiegelingen (waarbij het o.a. gaat over het gedrag van "rechte" lijnen op aarde) wakkerden deze interesse aan. Hij sprak er met diverse wiskundigen over, onder andere met Farkas Bolyai. Vooral Euklides vijfde postulaat (door een punt buiten een lijn kan maar één lijn getrokken worden evenwijdig aan de gegeven lijn) kwam onder vuur te liggen (op het aardoppervlak klopt dat namelijk niet!). Maar Gauss durfde nog niet echt met een niet-Euklidische meetkunde op de proppen te komen.
In 1831 kreeg hij echter het werk van Janos Bolyai over niet-Euklidische meetkunde door diens vader (Farkas Bolyai) toegestuurd. Gauss antwoordde dat het prijzen van dit werk zoveel betekende als zichzelf prijzen. Een tiental jaren later kreeg hij het werk van Lobachevsky over ditzelfde onderwerp toegestuurd, waarop Gauus beweerde dat hij datzelfde al 54 jaar lang had gedacht.

 

Op persoonlijk vlak was de periode van 1817 - 1832 lastig voor Gauss. In 1817 nam hij zijn zieke moeder in huis, terwijl hij (zeer tegen de zin van zijn tweede vrouw Minna) besloot niet in te gaan op een aanbod om aan de universiteit van Berlijn te komen werken en naar Berlijn te verhuizen. Gauss hield niet van verandering...
In 1831 stierf ook zijn tweede vrouw na een langdurige ziekte.

 

In 1831 werd Wilhelm Weber (een kennis van Gauss sinds 1828) benoemd als professor in de natuurkunde aan de universiteit van Göttingen. Gauss en Weber begonnen vanaf 1832 het aardmagnetisme te onderzoeken na een verzoek van Alexander von Humboldt aan Gauss om hem te helpen bij het maken van een netwerk van magnetische observatiepunten op de gehele aarde. Gauss werkte zo enthousiast aan dit project dat hij er tot 1840 drie belangrijke verhandelingen over schreef. Daarin toonden Gauss en Weber o.a. aan dat er maar twee magnetische polen zijn en ze berekenden de plaats van de magnetische Zuidpool. Verder beschreven ze manieren om de magnetische declinatie (de afwijking van het magnetische noorden/zuiden t.o.v. het geografische noorden/zuiden) te berekenen.
Gauss besteedde veel tijd aan het opzetten van een wereldwijd net van magnetische observatiepunten. Dit leidde tot de oprichting van de "Magnetischer Verein" en het tijdschrift van die vereniging. Ook werd er een atlas over geomagnetisme gepubliceerd.

Gauss en Weber werkten zo'n zes jaar vruchtbaar samen, tot in 1837 Weber betrokken raakte bij politieke tegenstellingen en Göttingen moest verlaten. Daarna werd ook Gauss' activiteit minder. Hij schreef nog wel met andere wetenschappers en liet weten blij te zijn met de ontdekkingen van wiskundigen als Eisenstein en Lobachevsky.
Maar zelf hield hij zich vooral bezig met financiële zaken: het beheer van het weduwen pensioenfonds van de universiteit van Göttingen en eigen slimme investeringen in aandelen van bedrijven, waardoor hij er redelijk warmpjes bij zat.
Zijn laatste twee doctoraal studenten waren Moritz Cantor en Richard Dedekind, beiden later bekende wiskundigen. Verder maakte hij nog kennis met het briljante werk van Bernard Riemann waarover hij vol lof was.

 

In 1849 hield Gauss een jubileum-toespraak vijftig jaar na het behalen van zijn diploma aan de Hemstedt universiteit. Het was een variatie op het thema van zijn dissertatie in 1799 bij het behalen van zijn bul.
Vanaf 1850 deed Gauss nauwelijks nog wetenschappelijk werk. Langzaam ging ook zijn gezondheid achteruit. Op 23 februari 1855 stierf hij in zijn slaap.

 

 

 

Gauss' bekendste werk

Getaltheorie

De anecdote dat hij al op zeer jonge leeftijd inzag hoe je snel de getallen `1` t/m `100` uit het hoofd kunt optellen heeft geleid tot een eenvoudige somformule voor een rekenkundige rij getallen.
Hij maakte een begin met modulair rekenen, een uitgebreide vorm van klokrekenen, rekenen in veelvouden van 12 (of in veelvouden van andere getallen). Hiermee werden sommige zaken in de getaltheorie eenvoudiger.
Hij leverde een bewijs van de hoofdstelling van de algebra die zegt dat elke veeltermvergelijking van graad `n` binnen de complexe getallen precies `n` oplossingen heeft.

Astronomisch onderzoek

Zijn werk aan het berekenen van banen van planetoïden, dat was jarenlang toonaangevend. Hierbij besprak hij ook het omgaan met meetfouten die volgens hem normaal verdeeld zijn. De Gausskromme of normaalkromme, is de klokvormige kromme lijn die de normale verdeling beschrijft en wordt tegenwoordig veel gebruikt in de statistiek.

De gausskromme kun je benaderen met de kansdichtheidsfunctie `f(x)= 1/(sigma sqrt(2pi)) * text(e)^(- 1/2 ((x-mu)/(sigma))^2)`.

De oppervlakte onder de normaalkromme tussen `x=a` en `x=b` geeft de kans `text(P)(a le x le b)`. Deze kans bepaalt het percentage van de waarnemingen `x` dat tussen `a` en `b` ligt.

Daarnaast introduceerde hij het opstellen van een regressielijn door een puntenwolk met behulp van de "kleinste kwadraten methode".

Geodetisch onderzoek

Hij werkte veel aan landmeetkundig onderzoek. Daarbij stuitte hij waarschijnlijk op de mogelijkheid van een niet-euklidische meetkunde (vanwege de meetkunde op een bolvormig aardoppervlak), echter zonder dat hij er iets over publiceerde. Wel beweerde hij - toen zowel Bolyai als Lobachevsky met een niet-euklidische meetkundetheorie waren gekomen - dat hij dit altijd al gedacht had, wat ook inderdaad het geval lijkt te zijn geweest. Verder raakte hij via de landmeetkunde geïnteresseerd in differentiaalmeetkunde, de meetkunde op gekromde oppervlakken. Hij bedacht de zogenaamde Gaussiaanse kromming.

 

 

 

---

Math4all