Fourier

De tijd van Fourier

Fourier leefde in de tijd van de Franse Revolutie (die in 1782 was begonnen). Hij bemoeide zich er actief mee en werd lid van het revolutionair comité van Auxerre. Hij lag af en toe ook dwars, zeker in de begintijd waarbij hij zich tegen de ergste terreur verzette. Hij zat zelfs een tijd in de gevangenis totdat Robespierre (één van de leiders van de Franse Revolutie) werd vermoord.

Na Fourier's benoeming aan de pas opgerichte École Polytechnique (1795) in Parijs vergezelde hij Napoléon's expeditieleger naar Egypte. Omdat Napoléon's vloot al meteen door de Britten werd verslagen, was dit expeditieleger gedwongen om enkele jaren in Egypte door te brengen. Na 1802 gaven de Fransen Egypte over aan de Britten en Fourier keerde terug naar Frankrijk, waar hij prefect van de Isère werd en 13 jaar vanuit Grenoble dit departement bestuurde. Na de val van Napoléon in 1814, gevolgd door een terugkeer en in 1815 een definitieve val, werd Fourier's positie als bestuurder problematisch. Hij werd toen hoofd van het bureau voor de statistiek in Parijs. In 1817 werd hij lid van de Parijse "Académie des Scienses" waarvan hij in 1822 secretaris werd.

 

 

 

Over Fourier

Jean-Baptiste Joseph Fourier werd op 21 maart 1768 geboren in Auxerre in Frankrijk. Zijn vader was een arme kleermaker en zijn moeder diens tweede echtgenote. Fourier was de negende van de twaalf kinderen uit dit huwelijk. Zijn moeder stierf toen hij 9 was en zijn vader een jaar later.
Vanaf zijn twaalfde studeerde hij aan het Benedictijner college "École Royale Militaire" van Auxerre en hij had een tijdlang het voornemen om zelf Benedictijn te worden. Maar tijdens de Franse Revolutie (die in 1782 was begonnen) werden kloosterordes afgeschaft. Fourier werd leraar aan hetzelfde Benedictijner college waar hij als kind op had gezeten (vanaf 1787) en ging zich (vanaf 1793) ook met de Franse Revolutie bemoeien, hoewel hij af en toe ook dwarslag met name bij de gewelddadige aspecten van die revolutie. Hij was zelfs een tijdlang zodanig uit de gratie dat hij een tijdlang in de gevangenis werd opgesloten. Maar na de dood van Robespierre (één van de leiders van de revolutie) werd hij vrijgelaten.

In 1795 werd Fourier als leraar benoemd aan de pas opgerichte École Polytechnique (op voorspraak van Gaspard Monge, een oprichter van deze school). In 1797 volgde hij Lagrange op in de leerstoel analyse en mechanica. En een jaar later gingen Fourier en Monge mee met Napoléon's militaire expeditie naar Egypte. Daar werd in augustus van 1798 de Franse vloot verpletterend verslagen door de Britten onde leiding van Nelson, waarop Napoléon gedwongen was om met zijn expeditie op het vasteland van Egypte te verblijven. Fourier werkte daar aan het opzetten van een op Franse leest geschoeide bestuursvorm en onderwijsvorm. O.a. was hij medeoprichter van het "Institut d'Egypte" voor de coördinatie van het wetenschappelijk onderwijs.

In 1801 keerde Fourier terug naar Parijs en werd hij weer professor in de analyse en mechanica van de École Polytechnique, todat Napoléon hem benoemde tot prefect van het departement Isère in de Bourgogne. Daar moest hij toezien op het droogmaken van moerassen en het aanleggen van o.a. een nieuwe snelweg van Grenoble naar Turijn. Hij werkte daar ook aan een boek over Egypte, dat pas in 1810 werd gepubliceerd, na correcties door Napoléon zelf. In Grenoble deed Fourier in zijn vrije tijd ook meer onderzoek naar de warmtetheorie. In 1807 schreef hij "Over de voortplanting van warmte in vaste lichamen", een tekst die door een comité van het Instituut van Parijs met daarin Lagrange, Laplace, Monge en Lacroix nogal controversieel werd ontvangen. Men vond Fourier's idee dat functies konden worden opgesplitst in een optelling van goniometrische functies (later de Fourieranalyse genoemd) niet overtuigend. En verder had Fourier niet gerefereerd aan een artikel van Biot uit 1804 (een artikel dat later incorrect bleek te zijn). In 1811 kreeg Fourier echter toch de wiskundeprijs van dit Instituut van Parijs voor zijn tekst, ondanks twijfels die er over zijn theorie bleven bestaan.

In 1814 werd Napoléon afgezet en naar Elba verbannen. Maar in 1815 probeerde hij terug te keren op een route via Grenoble, maar Fourier ging hem uit de weg. Napoléon werd definitief verslagen in 1815 en verbannen naar St. Helena (een eiland in de Atlatische Oceaan). Fourier keerde toen terug naar Parijs en werd daar hoofd van het bureau door de statistiek. In 1817 werd hij lid van de "Académie des Scienses". In 1822 werd hij secretaris van de Académie en werd zijn boek "Théorie analytique de la chaleur" gepubliceerd. In zijn laatste acht jaar in Parijs ging Fourier verder met wiskundig onderzoek en publiceerde hij nog aan aantal artikelen op dit gebied.

 

 

 

De Fourieranalyse

Fourier was één der grondleggers van de later naar hem genoemde Fourieranalyse.

Fourier stelde dat je elke trilling kunt opbouwen door harmonische trillingen (sinusoïden dus) op te tellen. Sterker nog, hij beweerde dat je alle periodieke functies van één variabele kunt schrijven als de som van een serie sinusoïden. Latere wiskundigen ontdekten dat dit iets te optimistisch was, er zijn bepaalde voorwaarden waaraan de functie moet voldoen.

Fourier bouwde daarbij voort op werk van Daniël Bernoulli die in 1753 afleidde dat de vorm van een snaar die op zeker tijdstip in trilling wordt gebracht is te beschrijven is door: `f(x)=a_1 sin(x) + a_2 sin(2x) + a_3 sin(3x) + ...`

Neem nu een snaar met lengte `L` en breng die in trilling.
Er ontstaan dat periodieke functies `u` voor de uitwijking uit de evenwichtsstand, met `u(0)=0` en `u(L)=0` van de vorm:

`u_1 = a_1 sin(pi/L t)`, `u_2 = a_2 sin(2pi/L t)`, `u_3 = a_3 sin(3pi/L t)`, etc.

In het algemeen is de functie `u(t) = a_1 sin(pi/L t) + a_2 sin(2pi/L t) + a_3 sin(3pi/L t) + ...` zo'n periodieke functie met `u(0)=0` en `u(L)=0`.

Korter: `u(t) = Sigma_(n=0)^(oo) a_n sin(n pi/L t)`.

 

De vraag is nu: als je zo'n functie `u(t)` hebt, welke waarden hebben de coëfficiënten `a_n` dan?
Als je die weet, kun je de functie `u(t)` benaderen door superpositie (optelling) van sinusfuncties.
Fourier leidde af dat `a_n = 1/L int_(0)^(2L) u(t) sin(npi/L t)dt`.

 

Neem de blokfunctie `u(t)=4` als `0 le t le 5` en `u(t)=-4` als `5 lt t le 10`.
Je wilt dit schrijven als `u(t) = Sigma_(n=0)^(oo) a_n sin(n pi/5 t)`.
Dan is `a_n = int_(0)^(5) 4sin(n pi/L t)dt + int_(5)^(10) -4sin(n pi/L t)dt`.
Deze integralen kun je voor `n = 0, 1, 2, 3, ...` uitrekenen: `a_0=0`, `a_1 = 16/pi`, `a_2=0`, `a_3=16/(3pi)`, `a_4=0`, `a_5=16/(5pi)`, enz.
En zo vind je:

`u(t) = 16/pi sin(pi/5 t) + 16/(3pi) sin(3pi/5 t) + 16/(5pi) sin(5pi/5 t) +...`

Je ziet grafieken van de blokfunctie en de benadering met de eerste vier termen hiernaast.

 

Omdat niet alle periodieke functies `u(t)` zullen voldoen aan `u(0)=0` en `u(L)=0`, is de algemene formule iets ingewikkelder. Er zijn ook cosinussen nodig. In het algemeen geldt:

`u(t) = c + Sigma_(n=0)^(oo) a_n sin(n pi/L t) + Sigma_(n=0)^(oo) b_n cos(n pi/L t)`

met: `c = 1/(2L) int_(0)^(2L) u(t)dt`,
`a_n = 1/L int_(0)^(2L) u(t) sin(npi/L t)dt` en
`b_n = 1/L int_(0)^(2L) u(t) cos(npi/L t)dt`.

Tegenwoordig is de Fourieranalyse die hierop is gebaseerd een belangrijk stuk wiskundige gereedschap bij het oplossen van zogenaamde differentiaalvergelijkingen. Toepassingen liggen vooral in de electronica en de optica.

 

 

 

---

Math4all