Formules en eenheden

Het ontstaan van eenheden

Eenheden zijn zo oud als de mensheid. In ieder geval zo oud als de met anderen communicerende mens. Want zodra je bijvoorbeeld zegt dat je drie appels wilt hebben, is “appel” een soort van eenheid geworden. Je kunt er dan meteen mee rekenen, zolang je het over de eenheid eens bent: appels kun je bij appels optellen, maar niet bij peren.
Of: je moet een andere eenheid gebruiken, zoals “stuk fruit”. Dan kun je ineens ook appels en peren optellen en aftrekken.

Maar al snel gaat het om meer dan appels en peren, bovendien zijn dit onhandige eenheden omdat appels nogal van elkaar verschillen. Boeiender is het om afstand, oppervlakte, volume, tijd, gewicht en dergelijke grootheden uit te drukken in een eenheid waar we het met z’n allen binnen de groep over eens zijn. Maar hoe kom je dan aan zo’n eenheid?
Dat is nog niet eenvoudig geweest, zeker niet in een tijd dat er geen meetinstrumenten zijn die deze eenheden aangeven. Vaak zijn in het begin ledematen, activiteiten of voorwerpen gebruikt. De lengtematen die in de zeventiende eeuw in West-Europa gebruikt werden waren vaak afgeleid van het oud-romeinse maatstelsel, waarvan men wel beweerde dat het gebaseerd was op de afmetingen en proporties van de ideale mens. Logisch, want je praat nu eenmaal gemakkelijker in maten die erg herkenbaar zijn en waarvan de getalswaarde niet idioot groot of klein is. Vandaar ook afzonderlijke eenheden voor grote en kleine dingen. Er zal vaak geen enkele behoefte zijn geweest om die in elkaar over te zetten.

Lengtematen

Hier zie je een lijstje met Nederlandse oude lengtematen:

• de “duim” als een lengte die past bij de duim van een mens, zo’n `2,5` cm;
• de “palm” als de breedte van de handpalm (die vier vingers beslaat), later `10` cm gesteld;
• de “voet” als de lengte van een menselijke voet, variërend van `28,23` cm tot zo'n `31,40` cm;
• de “el” als de lengte van vanaf de elleboog tot het topje van de wijsvinger, zo’n `69` cm;
• de “streep” als de breedte van een lijntje, later `1` mm gesteld;
• de “roede” als lengtemaat, ongeveer `3,5` m.

Per gebied waren die lengtematen verschillend. Je had de "Rijnlandse voet" (`12` Rijnlandse duimen), de "Amsterdamse voet" (`11` Amsterdamse duimen), de "Rotterdamse voet" (`11` Rotterdamse duimen), de "Bossche voet", de "Schouwse voet", enzovoorts. Ze waren alleen in gebruik in bepaalde delen van Nederland.

Ook in andere landen bestond een vergelijkbaar stelsel lengtematen.

In Groot-Britannië is de "foot" (`30,48` cm) een officiële lengtemaat geworden, gebaseerd op de "inch" (`2,54` cm, vergelijkbaar met de "duim").

Oppervlakte- en inhoudsmaten

Nu zou je denken dat al direct de oppervlakte- en inhoudsmaten van die lengtematen zouden zijn afgeleid. Maar eigenlijk blijkt dat nog helemaal niet zo eenvoudig te liggen. Bekijk dit lijstje met Nederlandse oude oppervlaktematen maar eens:

• de “roede” als oppervlaktemaat, ongeveer `15` m²;
• de “loopense” als de oppervlakte die ingezaaid kon worden met één houten zaaikorf: een loopen;
• de “morgen” als de oppervlakte van het gebied dat in één ochtend kan worden omgeploegd;
• de “gras” als de oppervlakte die een koe in één dag begraast, ongeveer een halve hectare;
• de “dagwand” als oppervlakte van het gebied dat in één dag kan worden omgeploegd;
• de “gemet” als de oppervlakte die een boer op een dag, van zonsopgang tot zonsondergang kon ploegen met een span paarden, ongeveer een halve hectare;
• de “bunder”, later vervangen door de hectare, `1` hm²;

Bijzonder eigenlijk dat er niet met oppervlakte-eenheden als `1` voet bij `1` voet, een "vierkante voet" werd gewerkt. Dit in tegenstelling tot wat de Britten doen, die kennen wel de "square foot" en de "square inch", etc.

En dan dit lijstje met oude inhoudsmaten:

• de “last” als inhoudsmaat voor graan, na 1820 vastgesteld op `3000` liter;
• de “mud”, na 1820 vastgesteld op `100` liter;
• de “zak”, ongeveer `85` liter;
• de “schepel”, na 1820 vastgesteld op `10` liter;
• het “vat”, variërend van `1,7` liter (Amsterdams vat) tot `20,8` liter (Nijmeegs vat).

En er waren er nog meer...
En weer geen enkele relatie met de lengtematen.
Maar ook nu kennen de Britten de "cubic foot", en dergelijke.

Speciaal voor dranken waren er nog diverse inhoudsmaten als "pint", "kan", "fles", "maatje", "aam", enzovoorts.

Omdat ze vaak voor specifieke goederen werden gebruikt, waren de inhoudsmaten eigenlijk ook vaak gewichtsmaten. Maar er bestonden ook nog specifieke gewichtsmaten, zoals:

• het “pond”, later vastgesteld op `500` gram;
• het “ons”, later later vastgesteld op `100` gram;
• het “lood”, later later vastgesteld op `10` gram;
• de “korrel”, later later vastgesteld op `0,1` gram.

Andere maten

Voor de grootheid tijd zijn ook oude eenheden bekend.

Voor de tijdseenheden gebruikt de mens al lang de "dag", grofweg de gemiddelde tijd van zonsopkomst tot de volgende zonsopkomst gerekend over een hele cyclus van de omloop van de aarde om de zon, die wordt onderverdeeld. Die verdeling is gebaseerd op werken met veelvouden van `12`.
De dag kent `24` uur, een uur kent `60` minuten en een minuut weer `60` seconden. Zeker sinds de tijd dat er uurwerken bestonden was deze verdeling in gebruik en dat is hij nog steeds.
Alleen het begin van de jaartelling, het vaststellen hoeveel dagen er in een jaar gaan, wanneer het jaar begint, en dergelijke is iets dat nog behoorlijk afhankelijk is van de verschillende culturen op aarde.

Veel andere eenheden ontstonden pas toen de natuurwetenschappen zich gingen ontwikkelen. En toen was er ook al vrij snel behoefte aan een eenheidssysteem. Daarover later meer.

En dan is er nog de grootheid waarde, als in "de waarde ergens van uitgedrukt in geldeenheden". Dat is nog steeds een grote puinhoop op deze aardbol. Het systeem is grofweg "wat de gek ervoor geeft" (of, bij voldoende aanbod, ervoor over heeft). Vrijwel elk land heeft zijn eigen geldsysteem en de geldeenheden van zo'n land zijn volslagen willekeurig gekozen, gebaseerd op traditie. Ze hebben ook geen constante waarde. De waarde ervan is heel sterk afhankelijk van het vertrouwen dat de eigen bevolking en de rest van de wereld heeft in het vermogen van zo'n land om die waarde af te dekken.
De "bitcoin" is een poging om een internationaal systeem te bewerkstelligen.

Naar de moderne tijd

Na 1870 ging Nederland over op het metrieke stelsel en werden de meter, de vierkante meter, de kubieke meter en de gram gebruikt. Met behulp van voorvoegsels werden grotere of kleinere versies ervan aangeduid. Zie bij het S.I.-stelsel.
Maar in veel landen worden nog steeds oude meeteenheden gebruikt. Wat denk je van bijvoorbeeld in Groot-Brittannië de “inch” (ongeveer de duim), de “yard” (ongeveer de el), de “mile” (`1609` m), de “acre” (`4046,85642` m², vergelijkbaar met de "dagwand"), de “square mile”, de “pound”, etc.
Of de “gallon” (`3,78541178` liter) in de USA.
En zo zijn er nog veel landen, regio’s met hun eigen gewoonten.
En ook roept de moderne tijd weer nieuwe eenheden op...

Het S.I.-stelsel

Al tijdens de opkomst van de moderne natuurwetenschappen werd het invoeren van een standaardstelsel van eenheden steeds belangrijker. Bovendien gingen mensen in de vorige eeuw steeds vaker met elkaar handeldrijven, mensen hebben veel vaker met elkaar te maken dan in vroegere tijden. Logisch dus dat er een internationaal systeem van eenheden werd ingevoerd, hoewel de grootheid waarde daarbij totaal buiten beschouwing werd gelaten.

Het Internationale Stelsel van Eenheden ("Système International d'Unités", S.I.-stelsel) werd in 1960 ingevoerd en wordt beheerd door het "Bureau international des poids et mesures" in Sèvres (Frankrijk). In hun logo zie je de zeven basiseenheden. Het zijn:

grootheid	SI-eenheid
	naam	symbool
tijd	seconde	s
lengte	meter	m
massa	kilogram	kg
elektrische stroom	ampère	A
absolute temperatuur	kelvin	K
hoeveelheid stof	mol	mol
lichtsterkte	candela	cd

Deze zeven grootheden heten ook wel de basisdimensies en daar horen de genoemde basiseenheden bij.
Alle andere eenheden (behalve ons geldstelsel) zijn daarop gebaseerd.
De naam van de eenheid is in het Nederlands altijd een kleine letter, het symbool is soms een hoofdletter, namelijk als de eenheid naar een persoon is genoemd. Dat is bijvoorbeeld het geval bij de eenheden "ampère" en "kelvin".

Zo is de eenheid van kracht de "newton" N (genoemd naar Isaac Newton) en die eenheid is gedefinieerd als de kracht die een massa van `1` kilogram een versnelling van `1` m/s² geeft: `1` N `= 1` kg⋅m/s².

En de eenheid "liter" voor volume is afgeleid van de "meter": `1` liter `= 0,1` m `*0,1` m `*0,1` m `= 0,001` m³ (kubieke meter).
Maar meestal redeneer je met behulp van de decimeter: `1` dm `= 0,1` m ("deci" betekent "tiende deel").
Dan is `1` liter = `1` dm `* 1` dm `* 1` dm `= 1` (dm)³.
Maar iedereen schrijft `1` liter `= 1` dm³ hoewel dat eigenlijk (wiskundig gezien) fout is! Want daar staat deci m³ en dat is ééntiende m³.

Er worden dus ook voorvoegsels gebruikt zoals "deci" voor tiende deel, "centi" voor honderste deel. En "deca" voor tienvoud, "hecto" voor honderdvoud en "kilo" voor duizendvoud. De complete lijst met voorvoegsels is te vinden op de Wikipediapagina over het S.I.-stelsel. En om ongelukken te voorkomen zijn er nog enkele belangrijke afspraken:

• Toepassen van een voorvoegsel gaat voor machtsverheffen, bijvoorbeeld cm² = (cm)².
• Machtsverheffen gaat weer voor andere vermenigvuldigingen (dat is altijd al zo) : m·s² = m·(s²).
• De halfhoge punt als vermenigvuldigingsteken of een spatie: m s² gebruiken wordt aanbevolen, omdat anders bijvoorbeeld ms zowel milliseconde als meter·seconde zou kunnen betekenen.

Veel grootheden in de natuurwetenschappen hebben een eigen specifieke eenheid, die echter altijd is gebaseerd op de zeven basiseenheden.

Bijzondere eenheden

Tegenwoordig gebruiken we een internationaal afgesproken stelsel eenheden, zie bij het S.I.-stelsel.
Maar er zijn nog veel bijzondere eenheden in omloop.
Wat denk je van:

• De “smoot” is een eenheid die op MIT is ontstaan als studentengrap - als ontgroening moest een stel studenten een brug opmeten met medestudent Smoot als lineaal. De heer Smoot was `5` foot `7` inches (dus `(5*12 + 7)*2,54 = 170,18` cm) lang en is fysiek over de brug gedragen terwijl er streepjes op de brug gezet werden. Nog steeds worden periodiek de maatstreepjes op de brug bijgewerkt.
• De “baardseconde” is de lengte die een baard gemiddeld groeit in `1` seconde, het is `10` nm. Deze eenheid wordt soms gebruikt door kernfysici als tegenhanger voor het lichtjaar dat door astrofysici wordt gebruikt.
• De “dirac” is de kleinste eenheid van informatie, `cancel(h) = 1,054text(.)571text(.)800 * 10^(-34)` J⋅s/rad.
• De "barn" is in de deeltjesfysica de eenheid voor een doorsnede van `10^(-28)` vierkante meter – achtentwintig nullen achter de komma, ongeveer de doorsnede van een atoomkern uranium. Die eenheid komt van pas als je de kans wil berekenen dat twee rondvliegende deeltjes elkaar raken.
• De “micro-eeuw” is `1` miljoenste deel van een eeuw, dus `52` minuten en `35,72` seconden. De beroemde natuurkundige Fermi schijnt ooit te hebben gezegd dat een lesuur nooit langer dan `1` micro-eeuw mag duren.
• De "erlang" is een eenheid voor de omvang van het telefoonverkeer en werd in 1946 werd als eenheid ingevoerd. Het aantal erlang is een maat voor de hoeveelheid telefoonverkeer en is genoemd naar de Deense wiskundige Agner Erlang. Op een analoge telefoonlijn kan maar `1` gesprek tegelijk worden gevoerd, zo'n lijn heeft een capaciteit van `1` E (erlang).

• De "parsec" is de afstand die men vanaf de zon de ruimte moet ingaan, om de gemiddelde afstand aarde - zon (de "astronomische eenheid") onder een hoek van één boogseconde te zien, zie dit plaatje.
  De gemiddelde afstand van de aarde tot de zon is gelijk aan `1` AE (astronomische eenheid) `= 149597870700` meter. Een hoek van `1` boogseconde (dus `0` graden, `0` boogminuten en `1` boogseconde, ofwel `1/60` deel van `1/60` graad) is uitgedrukt in radialen `π/(180 * 60 * 60)`.
  Noem de afstand van één parsec `d`, dan is de lengte van de boog waarop die ene boogseconde staat gelijk aan `d * π/(180 * 60 * 60)` m.
  De lengte van die boog is ongeveer (de hoek is veel kleiner dan in de figuur) één astronomische eenheid, dus `1` AE `= d * π/(180 * 60 * 60)`, zodat `d = (149text(.)597text(.)870text(.)700 × 180 × 60 × 60)/π = 3,085text(.)677text(.)581 ... × 10^16` m.
  Hieruit volgt dat één parsec overeenkomt met ongeveer `206264,8` AE of ongeveer `3,261564` lichtjaar.
• De “uur gaans” die wordt gebruikt om de lengte van een wandeltocht aan te geven. Een wandeltocht kan bijvoorbeeld `3` uur gaans zijn. Maar hoeveel km zou dat zijn?
• De “paardenkracht” om de kracht van een auto weer te geven: net zo sterk als een paar is `1` pk. Maar eigenlijk heb je het dan helemaal niet over een kracht, maar over vermogen, over J/s (Joule per seconde) of W (watt). In de Wikipedia, paardenkracht vind je er drie definities van.
• De "Big Mac index" is de gemiddelde prijs van een Big Mac omgerekend in dollars in een bepaald land. Het schijnt iets te zeggen over het welvaartsniveau in dat land. (Zwitserland staat bovenaan...)

Je ziet dat er nog veel maten en maatsoorten te bedenken zijn.
Maar deze zijn vaak toch gewoon te herleiden tot ons huidige standaard eenhedenstelsel.

Dimensieanalyse

In formules uit de praktijk van de natuurwetenschappen, de techniek of de economie komen steeds grootheden (en constanten) voor. Elke grootheid bestaat uit een variabele die door een letter wordt aangegeven en de bijpassende eenheid. Wil zo'n formule correct kunnen zijn, moeten ook die eenheden met elkaar overeenkomen.

Bijvoorbeeld werd al eerder de eenheid van kracht de "newton" N genoemd. Die eenheid is gedefinieerd als de kracht die een massa van `1` kilogram een versnelling van `1` m/s² geeft. Daarbij hoort de formule

`F = m*a`

met:

• `F` de grootheid kracht in N (newton)
• `m` de grootheid massa in kg
• `a` de grootheid kracht in m/s²

Dit heet wel de tweede wet van Newton.

Om te zorgen dat de eenheden overeenkomen, dus links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde zijn, moet N wel gelijk zijn aan kg⋅m/s². Immers aan de rechterzijde vermenigvuldig je `m` en `a` en dus een getal in kg met een waarde in m/s².

Om na te gaan of een formule met grootheden correct kan zijn, kun je de eenheden links en rechts van het isgelijkteken vergelijken. Dat heet dimensieanalyse. Je gaat dan door op de eenheden dezelfde bewerkingen toe te passen als op de variabelen, of je links en rechts hetzelfde krijgt. Als je twee grootheden met dezelfde dimensie optelt of aftrekt, blijft de eenheid hetzelfde. Als je ze vermenigvuldigt of deelt, verandert de eenheid wel, of houd je zelfs geen eenheid meer over. En als je twee grootheden wilt optellen of aftrekken die dezelfde dimensie hebben, maar verschillende eenheden, moet je eerst die eenheden gelijk maken.

Een eenvoudig voorbeeld is de formule

`s = v*t`

met:

• `s` de afgelegde weg in m
• `v` de snelheid in m/s
• `t` de tijd in s

Eenhedencontrôle: m = m/s ⋅ s = m.
Dus de eenheden zijn links en rechts hetzelfde.
Nu lijkt dit misschien een flauw voorbeeld, want snelheid is natuurlijk per afspraak gewoon afgelegde weg gedeeld door de tijd en de formule is gewoon gelijkwaardig met `v = s/t`. Maar bij ingewikkelder formules kan dimensieanalyse toch wel veel opleveren.

Neem bijvoorbeeld de formule voor de warmtestroom door een bepaald materiaal

`Q = c*rho*Delta T`

met:

• `Q` de warmtestroom in J/s (Joule per seconde, of Nm/s, newtonmeter per seconde)
• `c` de specifieke warmte in J/(kg ⋅ K)
• `rho` de dichtheid van het materiaal in kg/m³
• `Delta T` het temperatuursverschil in K

Of deze formule kan kloppen kun je nagaan met dimensieanalyse.
Links van het isgelijkteken heb je J/s.
Rechts van het isgelijkteken heb je J/(kg ⋅ K) ⋅ kg/m³ ⋅ K en dat is J/m³.
Dat kan nooit kloppen!
In de formule mist dan ook rechts een factor met eenheid m³/s.
(Deze factor heet het debiet.)

Een mooi voorbeeld is ook de afleiding van de formule voor het vermogen van een windmolen.
Daarvoor heb je drie formules nodig, die je moet combineren:

`E = 1/2 mv^2`

`m = varphi*v*t*A`

`P = E/t`

met:

• `m` de massa in kg
• `v` de snelheid in m/s
• `t` de tijd in s
• `varphi ~~ 1,225` de luchtdichtheid in kg/m³
• `E` de energie in J (dus in Nm)
• `A = 0,25pi D^2` de oppervlakte van de cirkel die de wieken bestrijken in m²
• `D` de diameter van de cirkel die de wieken bestrijken in m
• `P` het vermogen dat wordt opgewekt in m W (watt = J/s = Nm/s)

De combinatie van deze formules levert op `P = (1/2 m v^2)/t = (1/2 varphi*A*v*t*v^2)/t ~~ 0,481 v^3 D^2`.

Of deze formule kan kloppen kun je nagaan met dimensieanalyse.
Links van het isgelijkteken heb je J/s, dus Nm/s.
Rechts van het isgelijkteken heb je in ieder geval (m/s)³ ⋅ m² en het getal `0,481`.
Om dit te laten kloppen moet die constante een eenheid hebben die ervoor zorgt dat er links en rechts van het isgelijkteken dezelfde eenhedencombinatie komt.
Nu is `0,481` onstaan als `1/2 * varphi * 1/4 pi` met als eenheid kg/m³.
Dit betekent dat aan de rechterkant de eenheid kg ⋅ m²/s te voorschijn komt. Nu is N = kg m/s², dus hier staat inderdaad Nm/s, dus J/s. De formule kan inderdaad kloppen. In de praktijk wordt het vermogen ook nog begrensd door de zogenaamde prestatiecoëfficiënt van Betz: `c le 0,593`. Geldt voor een bepaalde windmolen dat `c = 0,27`, dan is het vermogen dat hij oplevert te berekenen met `P = 0,27*0,481 v^3 D^2 ~~ 0,130 v^3 D^2` W.

En dan heb je nog zaken die dimensieloos zijn.
Het bekendste voorbeeld daarvan is wel het werken met percentages. Daar moet je erg netjes mee omgaan.
Neem bijvoorbeeld een medicijn dat er voor zorgt dat de overlevingskans op een bepaalde ziekte van `5`% stijgt naar `85`%. Je kunt dan niet zeggen dat de overlevingskans met `80`% is toegenomen. (Want `80`% van `5` is `4`, dus dan zou hij `5+4=9`% zijn geworden.) Nee, je moet zeggen dat hij met `80` procentpunt is toegenomen.

Dat percentages dimensieloos zijn, komt omdat het hierbij geen eenheid betreft, maar een wiskundige functie. Procent betekent immers "het honderdste deel nemen".

Denk ook maar aan de berekening van de parsec hiervoor. Als je de hoek van `1` boogseconde `varphi` noemt, moet daar eigenlijk staan
`d*tan(varphi) = 1` AE `= 149text(.)597text(.)870text(.)700` m.
Hiermee berekende je de grootte van `d = 1` parsec in m.
Dit betekent dat de tangensfunctie dimensieloos moet zijn. (Je neemt wel aan dat de waarde van `tan(varphi) ~~ varphi` dus gelijk is aan de lengte die hoort bij de boog van `1` boogseconde in radialen, wat bij zo'n hele kleine hoek (veel kleiner dan in de figuur) ook wel voor de hand ligt.)

Zo zijn de de meeste wiskundige functies dimensieloos!
Dat is ook wel logisch, want bijvoorbeeld sin, cos en tan zijn verhoudingen (delingen) van lengtes en hebben dus zelf geen dimensie. En bij een exponentiële functie zoals `N = N_0 * g^t` kan `t` de tijd voorstellen, maar omdat `N` en `N_0` (`N` bij `t = 0`) dezelfde dimensie hebben moet `g^t` wel dimensieloos zijn.

Voorbeelden waarbij een wiskundige functie wel invloed heeft op dimensies vind je bij kwadraten en derdemachten:
Voor de oppervlakte `A` van een vierkant met zijde `z` geldt: `A = z^2` met `A` in m² en `z` in m.
Het kwadraat (als functie) zorgt voor het veranderen van dimensie, lengte naar oppervlakte.
En iets vergelijkbaars kun je bedenken voor de inhoud van een kubus met lengte `r`. En ook voor andere machten. Maar machten zijn dan ook vooral een voortzetting van de basisregels voor het rekenen: een macht is afgeleid uit herhaald vermenigvuldigen.
En omdat worteltrekken een terugrekenfunctie is van machtsverheffen, hebben ook wortels invloed om de eenheden. Van een vierkant is de zijde `z = sqrt(A)` en hierin is de oppervlakte `A` bijvoorbeeld in m², maar de lengte van de zijde `z` in m.

Conclusie

In de wiskunde wordt in formules zuiver met de variabelen gerekend. Het werken met eenheden wordt (behalve lengte-, oppervlakte-, inhoudsmaten) vrijwel geheel overgelaten aan andere vakken, meestal de natuurwetenschappen. Toch hebben we in toepassingen veel, bijna uitsluitend, te maken met grootheden. En dan spelen ook de eenheden nadrukkelijk een rol.
En daarover hebben we het in het wiskundeonderwijs eigenlijk te weinig.
Een voorbeeld is het gebruik van cm² waar eigenlijk (cm)² wordt bedoeld. Dat dit een afspraak is in het S.I.-stelsel wordt voor zover mij bekend in het wiskundeonderwijs nergens genoemd. En het controleren van formules op de juiste dimensies en dus de juiste eenheden is ook een behoorlijk ondergesneeuwd onderwerp, net zoals het feit dat wiskundige functies meestal dimensieloos zijn.

Laten we ook in het wiskundeonderwijs meer doen aan het juiste gebruik van eenheden. En aan dimensieanalyse om na te gaan of formules correct kunnen zijn.

---

Math4all