Fibonacci

De tijd van Fibonacci

Fibonacci leefde in een tijd waarin de Noord-Italiaanse steden en kleinere republieken voortdurend waren verwikkeld in de machtsstrijd tussen de wereldlijke macht in de vorm van de keizer van het Heilige Roomse Rijk en de geestelijke macht in de vorm van de Rooms-Katholieke paus in Rome. Verder was dit de tijd van de laatste kruistochten tegen de Islamitische wereld die behalve het Midden-Oosten ook Noord-Afrika en een groot deel van Spanje besloeg.
Een republiek als Pisa was in die tijd een grote welvarende handelsstad die in feite zichzelf bestuurde. Zo'n stad had handelsdelegaties in alle andere steden waar handel mee werd gedreven, ook in veel Noord-Afrikaanse steden. Vooral de Italiaanse stadstaten maakten zo kennis met de Arabische cultuur en zorgden er op den duur voor dat ook de eigen cultuur weer tot bloei kwam na de 'duistere' eeuwen na het Romeinse Rijk.

De keizer van het Heilige Roomse Rijk was vanaf 1212 de Duitse keizer Frederik II. Hij werd in 1220 gekroond door de paus in de St.Pieterskathedraal in Rome. Frederik steunde Pisa in haar conflicten op zee met Genua en in haar conflicten op het land met Lucca en Florence gedurende de jaren dat hij in Italië verbleef om zijn belangen daar veilig te stellen. Hij poogde contrôle te krijgen over de handel en zorgde er voor dat er ambtenaren werden opgeleid (o.a. aan de universiteit van Napels die door Frederik II in 1224 werd gesticht) die daarop toezicht konden houden.

 

 

 

Over Fibonacci

Leonardo Pisano oftewel Leonardo van Pisa is veel beter bekend onder zijn bijnaam Fibonacci.
Hij kreeg die naam omdat hij zoon van Guilielmo, een lid van de familie Bonacci, was. Hij werd geboren in 1170 in Italië, waarschijnlijk in Pisa, maar opgevoed in Noord-Afrika omdat zijn vader Guilielmo daar diplomaat was. Guilielmo vertegenwoordigde de kooplieden van de Republiek Pisa in Bugia (het huidige Bejaia), een handelsstad aan de Middellandse Zee in het tegenwoordige Algerije. Over Fibonacci's jeugd is weinig bekend. Hij leerde wiskunde in Bugia en reisde veel rond met zijn vader waarbij hij de wiskundige kennis van landen zoals Egypte, Syrië, Griekenland, Sicilië en de Provence (Frankrijk) bestudeerde. Hij leerde onder andere werken met de Indische symbolen voor getallen (die wij eigenlijk nog steeds hanteren: `1`, `2`, ..., `9`) en hun positiestelsel.

Omstreeks 1200 hield het reizen op en keerde Fibonacci terug naar Pisa. Daar schreef hij een aantal belangrijke werken waarin hij de wiskundige kennis van diverse beschavingen, waaronder ook de Arabische en de Indische wiskunde, deed herleven in West-Europa. Dit waren handgeschreven teksten want de boekdrukkunst was nog niet uitgevonden. Gelukkig zijn een aantal van zijn belangrijkste werken bewaard gebleven: "Liber Abaci" (uit 1202), "Practica geometriae" (uit 1220), "Flos" (uit 1225) en "Liber quadratorum". Maar andere boeken van zijn hand, zoals "Di minor guisa" over handelsrekenen en zijn commentaar op boek X van Euklides' Elementen (met een rekenkundige benadering van de irrationale getallen), zijn verloren gegaan.
Deze boeken werden erg bekend onder Fibonacci's tijdgenoten. Hij beschreef daarin de wiskundige kennis op een zodanige wijze dat ze meteen toepasbaar was en lette niet al te veel op abstracte stellingen. En dat maakte ze voor die tijd ongewoon populair. Zelfs zo bekend dat de Duitse keizer (tevens de keizer van het Heilige Roomse Rijk) Frederik II ervan hoorde.Met name de geleerden aan het hof van Frederik II, zoals Michael Scotus de astroloog, Theororus de hoffilosoof en Dominicus Hispanus, Frederik bewogen om Fibonacci te ontmoeten toen zijn hof bijeen kwam in Pisa omstreeks 1225.

Johannes van Palermo, die ook tot Frederik's hof behoorde, legde Fibonacci een aantal wiskundige problemen voor. Daarvan wist hij er een drietal op te lossen. De oplossing presenteerde hij in zijn boek 'Flos' dat hij Frederik II aanbood.
Maar van de periode na 1228 is maar weinig meer bekend over het leven van Fibonacci. Hij lijkt in Pisa te zijn gebleven en zich bezig te hebben gehouden met het geven van adviezen over het onderwijs aan de burgers van Pisa gezien het salaris dat hem in 1240 op grond daarvan werd toegekend.
Omstreeks 1250 is hij vermoedelijk in Pisa overleden.

Fibonacci's invloed op de geschiedenis van de wiskunde wordt veelal onderschat.
Van directe betekenis was natuurlijk zijn invoering van de Hindoe-Arabische notatie voor getallen: de negen cijfers, de nul en het positiestelsel in zijn 'Liber Abaci'. Verder maakte hij West-Europa bekend met de wiskundige methoden uit de Hindoe-Arabische culturen en wist ze toe te passen op problemen uit het dagelijks leven.
Maar misschien nog veel belangrijker is het feit dat zijn boeken de leerboeken waren voor rekenmeesters en landmeters en voor veel toekomstige wiskundigen.
Maar veel van zijn werk in de getallentheorie raakte in de vergetelheid en werd pas driehonderd jaar later weer ontdekt door Maurolico. En zijn letteraanduiding voor een algemeen getal (een coëfficiënt) werd pas weer in de tijd van Vieta ontdekt en verbeterd.

 

 

 

Fibonacci's belangrijkste werk

Fibonacci's belangrijkste werken zijn:

• "Liber Abaci" (1202, herzien in 1228)
  Een boek over de rekenkunde en de algebra die Fibonacci tijdens zijn reizen had geleerd. Het introduceerde de Hindoe-Arabische getaltekens die, samen met de nul, een bruikbaar positiestelsel voor getallen opleverden. Het gaat verder hoofdzakelijk over het gebruik van de Arabische rekenwijzen en over het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen.
  In de herziene editie werd een groot aantal opgeloste problemen toegevoegd die bedoeld waren voor handelaren. Het gaat daarbij op problemen die te maken hebben met de prijzen van goederen, het berekenen van winst, het omrekenen van munteenheden, en dergelijke.
  Een probleem in het derde deel van 'Liber Abaci' leidde tot het invoeren van de rij van Fibonacci:

  Iemand doet een paar (mannetje + vrouwtje) konijnen in een geheel afgesloten ruimte. Hoeveel paren konijnen zal dit paartje voortbrengen in én jaar, ervan uitgaande dat elke maand ieder paar konijnen een nieuw paar werpt dat vanaf de tweede maand ook zelf weer vruchtbaar is en dus voor nakomelingen kan zorgen?

  De rij getallen die hieruit voortkomt is `1`, `1`, `2`, `3`, `5`, `8`, `13`, `21`, `34`, `55`, ...
  Deze rij waarin elk getal ontstaat als de som van de voorgaande twee getallen blijkt in veel verschillende takken van de wiskunde op te duiken. Door de eeuwen heen hebben diverse wiskundigen de rij van Fibonacci bestudeerd. Op het internet zijn er veel sites over te vinden, bijvoorbeeld:

  • Over de rij van Fibonacci (Nederlandstalig)
  • Over de Gulden Snede en de rij van Fibonacci (Nederlandstalig)
  • Fibonacci-numbers and the Golden Section (Engelstalig)
  Hier staan nog een paar van dergelijke problemen:

  1 - Een spin klimt elke dag een vaste afstand van `30` cm omhoog langs een muur van `2,40` m hoog, maar glijdt 's nachts weer `20` cm terug. Hoe lang duurt het voordat de spin de hele muur heeft beklommen?

  2 - Een hond waarvan de snelheid éénparig toeneemt achtervolgt een haas waarvan de snelheid eveneens éénparig toeneemt. Hoe lang duurt het voordat de hond de haas heeft ingehaald?

  3 - Bereken hoeveel geld twee mensen hebben nadat ze een bepaalde hoeveelheid hebben uitgewisseld en de verhoudingsgewijze toename of afname gegeven is.

  Ook zijn er problemen over "perfecte getallen", over het werken met resten en over het optellen van rekenkundige en meetkundige rijen.
  De herziene editie is opgedragen aan Michael Scotus, hofastroloog van Frederik II.

• "Practica geometriae" (1220)
  Dit boek is opgedragen aan Dominicus Hispanus, hoffilosoof van Frederik II. Het bevat een groot aantal meetkundige problemen verdeeld over acht hoofdstukken, vooral gebaseerd op het werk van Euklides. Behalve stellingen met exacte bewijzen bevat het boek ook aanwijzingen voor landmeters, bijvoorbeeld een hoofdstuk over de manier om de hoogte van hoge objecten te berekenen met behulp van gelijkvormige driehoeken. Ook zijn er berekeningen te vinden van de zijden van een regelmatige vijfhoek en een regelmatige tienhoek vanuit de diameter van de omgeschreven cirkel, en meer van dit soort meetkundige vraagstukken.
• "Flos" (1225)
  In Flos geeft Fibonacci een nauwkeurige benadering van een oplossing van de vergelijking `10x + 2x^2 + x^3 = 20`.
  Dit was één van de problemen die hij opkreeg van Johannes van Palermo. Die vond het in Omar Khayyam's algebraboek waarin het werd opgelost met behulp van het snijden van een cirkel en een hyperbool.
  Fibonacci geeft een benadering (zonder de benaderingsmethode te beschrijven) in het zestigtallig stelsel als `1,22.7.42.33.4.40` , hetgeen betekent: `1 + 22/60 + 7/(60^2) + 42/(60^3) + ...`
  In onze decimale notatie is dat: `1,3688081075`.
  En die benadering is correct tot op negen decimalen, een ongehoorde prestatie in die tijd.
• "Liber quadratorum" (1225)
  Dit is Fibonacci's meest indrukwekkende boek. Het gaat over getallentheorie, met name over kwadraten. Onder andere onderzoekt hij methoden om Pythagoreïsche drietallen (zoals `3^2 + 4^2 = 5^2`) te vinden. Hij vond bijvoorbeeld het verband: `n^2 + (2n + 1) = (n+1)^2`. Dit betekent dat je kwadraten kunt maken door bij een gegeven kwadraat van `n` het oneven getal `2n+1` op te tellen. Hierbij vond hij kwadraten die opgeteld weer een kwadraat opleverden op deze manier:
  neem bijvoorbeeld als kwadraat `9` en tel daar oneven getallen bij die samen weer een kwadraat vormen (dus `1 + 3 + 5 + 7 = 16`) en je krijgt twee kwadraten die opgeteld weer een kwadraat vormen.
  Dit boek staat verder vol met dergelijke getaltheoretische bedenksels. Bijvoorbeeld dat `x^2 + y^2` en `x^2 - y^2` niet beide een kwadraat kunnen zijn en dat `x^4 - y^4` nooit een kwadraat is, en nog veel meer...
  Hiermee was Fibonacci de eerste die zich met getallentheorie bezighield sinds Diophantos. En het zou nog duren tot Pierre de Fermat voordat er weer een wiskundige de getallentheorie op een hoger niveau bracht.

 

 

 

---

Math4all