Euklides

Het belang van Alexandrië

Euklides leefde op het hoogtepunt van de Griekse beschaving. Alexander de Grote had een groot deel van de beschaafde wereld (alleen India en China niet) aan de Griekse macht onderworpen; na zijn dood regeerden zijn wapenbroeders over delen van zijn Rijk. Alexandrië in Egypte was én van de steden die door Alexander waren gesticht en groeide uit tot een middelpunt van de Griekse wereld in die tijd.

Nadat in 323 v.Chr. het Griekse Rijk van Alexander de Grote na zijn dood uiteen was gevallen, regeerden verschillende van zijn generaals over delen ervan. Ptolemeos werd koning (farao) van Egypte. Hij bezat in Alexandrië in Egypte het graf van Alexander de Grote en besloot die stad tot het middelpunt van de Griekse beschaving te doen uitgroeien. Daartoe liet hij de voormalige Atheense stadsbestuurder Demetrios van Phalerum een groot Museum en de Grote Bibliotheek in Alexandrië oprichten. Demetrios wilde in die instituten alle kennis van de wereld verzamelen! Ptolemeos zag dat wel zitten en leverde het benodigde geld. Geleerden en boeken uit de gehele stroomden van alle kanten toe. Er werden pensionarissen benoemd, geleerden die zich geheel op kosten van de koning aan de wetenschap konden wijden. Beroemde namen waren Erathostenes, Apollonios en vooral Euklides.

323 - 285/283 v.Chr.: Regering van Ptolemeos I van Egypte.
330 v.Chr.: Stichting van Alexandrië in Egypte, én van de vele door Alexander de Grote gestichtte steden van die naam.

Over Euklides

Over Euklides is niets meer bekend dan dat hij werkte in het Museum en de Grote Bibliotheek van Alexandrië in de tijd van koning Ptolemeos. Hij stichtte er een soort school voor het bestuderen van de wiskunde. En hij verzamelde alle in die tijd beschikbare wiskundige kennis in 13 boeken: "De Elementen" van Euklides. Daartoe maakte hij gebruik van het werk van andere wiskundigen, zoals Hippokratos van Chios, Theaethetos en Eudoxos. Euklides bedacht eigenlijk weinig nieuws, hij bracht vooral systeem in de beschikbare kennis. Het vermoedelijk doel van het schrijven van "De elementen" was het maken van een leerboek voor zijn studenten. Er is geen originele tekst van bewaard gebleven: wat we er van weten is via vertalingen, recensies en commentaren overgeleverd.

Beroemd is zijn antwoord op een vraag van Ptolemeos of die wiskunde nu niet sneller te leren zou zijn dan door het doorworstelen van die 13 boeken: "Er is geen koninklijke weg naar de wiskunde."
Een andere vraag die hem volgens de overlevering werd gesteld is wat voor nut die wiskunde nu allemaal heeft. Waarop Euklides zou hebben geantwoord: "Geef die man drie geldstukken, hij wil per sé voordeel halen uit wat hij heeft geleerd."

Euklides heeft nog andere boeken over wiskunde op zijn naam staan waarvan er vele verloren zijn gegaan en alleen bekend zijn doordat latere wiskundigen er over hebben geschreven.

De Elementen (Stoïcheia)

Wellicht op de Bijbel van de Christenen na het meest gelezen boek ter wereld, bestaat uit 13 delen. Vanuit slechts 5 postulaten (voor vaststaand aangenomen uitspraken) worden er met behulp van 130 definities wel 465 stellingen in bewezen! 2000 jaar lang was dit hét wiskundeboek. Er bestaat een Nederlandse vertaling van "De Elementen van Euklides" van de hand van prof. Dijksterhuis.

De opbouw van "De Elementen" is als volgt:

• Allereerst worden in elk van de 13 boeken allerlei begrippen nauwkeurig omschreven. Elk boek begint met een lijst van definities.
  Daarna worden van het deel van de wiskunde waar het betreffende boek over gaat stellingen geformuleerd en bewezen.
• In het eerste boek worden vooraf de 5 beroemde wiskundige postulaten (soms worden die ook wel axioma's genoemd) geformuleerd:
  1. Door twee punten gaat een rechte lijn.
  2. Een deel van een rechte lijn kan tot in het oneindigeworden verlengd.
  3. Vanuit ieder willekeurig punt kan een cirkel met een willekeurige straal worden getrokken waarvan dit punt het middelpunt is.
  4. Alle rechte hoeken zijn gelijk.
  5. Door een punt in een plat vlak dat buiten een gegeven lijn l ligt, kan slechts én lijn worden getrokken die parallel loopt aan l .
  Van alle daarin gebruikte begrippen gaf Euklides eerst een nauwkeurige omschrijving, een definitie. De laatst van deze postulaten - het parallellenpostulaat - is duizenden jaren lang onderwerp van discussie geweest, tot in de 19e eeuw een aantal wiskudigen een nieuwe wiskunde opbouwden waarin dit postulaat werd aangepast, de niet-euklidische meetkunde.
• In het eerste boek worden ook vooraf wat meer filosofische uitgangspunten geformuleerd, zoals:
  • Als twee dingen beide gelijk zijn aan een derde ding, zijn al die dingen aan elkaar gelijk.
  • Als er aan (van) twee gelijke dingen bij beide een gelijk ding wordt toegevoegd (weggehaald), zijn de twee nieuwe dingen ook gelijk.
  • Dingen die met elkaar samenvallen zijn gelijk.
  • Een deel is kleiner dan het geheel.
  en zo nog een stuk of wat uitspraken.
• Op basis van die vijf postulaten en de filosofische uitgangspunten wordt vervolgens eigenlijk alle kennis op het gebied van de vlakke (euklidische) meetkunde, de rekenkunde en tenslotte de ruimtelijke (euklidische) meetkunde netjes in 465 stellingen bewezen.

De volgende onderwerpen kwamen in "De Elementen" van Euklides aan bod:

• Boeken I, II, III, IV:
  De bekende vlakke meetkunde.
• Boek V:
  Het werken met verhoudingen (van lijnstukken).
• Boek VI:
  Het werken met verhoudingen in de vlakke meetkunde.
• Boeken VII, VIII en IX:
  De theorie van getallen en rekenkunde, steeds vanuit een meetkundige opbouw!
• Boek X:
  De invoering van meetbare en onmeetbare getallen, waarbij de Grieken getallen als de wortel uit 2 (die niet als verhouding van gehele getallen zijn te schrijven) onmeetbaar noemden.
• Boek XI:
  De bekende ruimtemeetkunde.
• Boeken XII en XIII:
  Bevatten de uitputtingsmethode van Eudoxus om de oppervlakte van een cirkel en de inhoud van een bol te bepalen. In deze boeken worden allerlei methoden voor berekeningen aan vlakke en ruimtelijke figuren in stellingen uiteen gezet.

Math4all