Eudoxus

De bloei van de Griekse beschaving in Eudoxus' tijd

In de periode van 600 - 300 v.Chr. bloeide de Griekse beschaving als nooit tevoren. Er ontstonden in Griekenland en de westkust van Klein-Azië steden waarin de burgers een grote welvaart kenden (het burgerschap was lang niet voor alle inwoners weggelegd, veel stedelingen waren in feite slaven (heloten)). Vooral Athene was een belangrijke stad in die jaren. De grote wijsgeer Plato stichtte er zijn Academie.
Op het gebied van de wiskunde was het de tijd van de Pythgoreërs, de volgelingen van Pythgoras die rond 500 v.Chr. was overleden. Eudoxus' leermeester Archytas was ÉÉn die Pythagoreërs en een vriend van Plato.

Deze welvarende Griekse steden stichtten dochtersteden bijvoorbeeld in Zuid-Italië en langs de kusten van de Zwarte Zee. Veel van die dochtersteden ontwikkelden zich ook tot eilanden van beschaving. De Griekse cultuur raakte zo over een groot gebied verspreid en de Grieken zelf (en met name ook hun geleerden) reisden vrijelijk binnen dat gebied van stad naar stad.
Wel kenden deze steden onderlinge rivaliteit. Bekend is die tussen Sparta en Athene, twee van de belangrijkste steden in die tijd, elk met een aantal bondgenoten. Deze steden voerden onderling strijd, onder andere in de Peloponnesische Oorlog (394 v.Chr.). Mede daarom werden de steden in de gebieden buiten Griekenland zelf allengs belangrijker omdat zij hun krachten niet zoveel verspilden bij het oorlogvoeren. Belangrijke Griekse steden buiten Griekenland zelf waren Tarente en Syracuse (Zuid-Italië) en later Alexandrië in Egypte.

 

400 - 350 v.Chr.: Archytas leefde in Tarentum
428 - 348 v.Chr.: Plato
387 v.Chr.: Stichting van de Academie door Plato.

 

 

Over Eudoxus

Eudoxus werd in 408 voor Chr. geboren in de Griekse stad Cnidos. Over zijn jeugd is zo goed als niets bekend. Wat zijn opleiding betreft, hij reisde al in zijn jeugd naar Tarentum (een Griekse stad in het huidige Zuid-Italië) waar hij les kreeg van Archytas een volgeling van de beroemde wiskundige en filosoof Pythagoras. Ook studeerde hij medicijnen bij Philiston (die leefde op Sicilië) en bezocht hij Athene waar hij lessen aan de Academie van Plato bijwoonde.
Na Athene verbleef Eudoxus een jaar bij de priesters in het Egyptische Heliopolis waar hij astronomie studeerde.

Na zijn verblijf van een jaar in Egypte reisde Eudoxus naar Cyzicos, een Griekse stad in het Noord-Westen van KLein-Azië aan de Zee van Marmara. Hier stichtte hij een eigen school, die de nodige bekendheid verwierf. Eudoxus kreeg een groot aantal volgelingen.
In 368 v.Chr. bezocht Eudoxus met een aantal van die volgelingen voor de tweede keer Athene en de Academie van Plato. Hij werd beschouwd als lid van Plato's Academie. Eudoxus echter vond Plato's analytische vermogens niet geweldig. En Plato was niet zo blij met de populariteit van Eudoxus. Als filosofen hebben ze waarschijnlijk mede om die redenen niet veel invloed op elkaar uitgeoefend.

Eudoxus keerde terug naar zijn geboortestad Cnidos. Daar kreeg hij een belangrijke post in de wetgevende macht. Hij bleef echter bezig met filosofie, wiskunde en astronomie en schreef geregeld boeken over zijn bevindingen. In 355 v.Chr. overleed Eudoxus in Cnidos.

 

 

Over het werk van Eudoxus

Veel van Eudoxus wiskundige werk is terug te vinden in "De elementen" van Euklides. Het belangrijkste daarvan is:

• over de theorie van verhoudingen:
  In de tijd van Eudoxus kende men geen getallen (zoals wortels) die alleen konden worden benaderd. Voor de wiskundigen uit die tijd bestonden er alleen gehele getallen (`1`, `2`, `3`, `4`, ...) en verhoudingen van gehele getallen. Daarom was de studie van de eigenschappen en rekenregels van verhoudingen ook van groot belang. Een groot probleem was het bepalen van de lengte van de zijde van vierkant met oppervlakte `2`. Wij kennen het getal `sqrt(2)` wel als oplossing, maar voor de Grieken was dit een onbegrijpelijk getal: ze konden het wel construeren (gewoon de zijde van een vierkantje met oppervlakte `2` tekenen), maar het niet als een verhouding van gehele getallen schrijven!
  Eudoxus werk over verhoudingen is terug te vinden in boek V van 'De elementen' van Euklides. Daarin beschrijft hij een methode om met irrationale getallen te werken. Hij beschouwde die getallen als 'onverenigbare' lijnstukken, die wel konden worden geconstrueerd maar niet exact worden bepaald als de verhouding van twee (gehele) getallen. Als lijnstukken konden ze wel met elkaar worden vergeleken, kon er mee worden 'gerekend'.
  Dit was een heel belangrijke stap vooruit, want nu waren de Grieken in staat om de getaltheorie verder te ontwikkelen, zij het op een volledig meetkundige basis.
  Meer hierover is te vinden in » De Elementen van Euclides (Eng.talig).
• de uitputtingsmethode:
  Uitgaande van eerdere ideeën van Antiphones was Eudoxus de eerste die een bewijsmethode voor de oppervlakte van een cirkel opstelde uitgaande van ingeschreven en omgeschreven veelhoeken. Deze methode wordt tegenwoordig de 'uitputtingsmethode' genoemd, hoewel de Oude Grieken hem nooit gebruikten als methode om systematisch oppervlaktes en inhouden te berekenen. Wel komt hij regelmatig voor in bewijzen van stellingen op dat gebied. Eudoxus' nette, systematische toepassing van deze methode is onderwerp van boek XII van "De Elementen" van Euklides.
  Daarin wordt bewezen dat het verschil tussen de oppervlakte van een cirkel en dat van een regelmatige `n`-hoek waarvan de hoekpunten op die cirkel liggen zo klein kan worden gemaakt als je maar wilt, als `n` maar groot genoeg wordt gemaakt.
  Deze animatie laat het resultaat zien voor een cirkel met straal `r`. Je kunt zelf wel aantonen, dat voor de oppervlakte van een regelmatige `n`-hoek met de hoekpunten op deze cirkel (in onze moderne notatie) geldt:
  `text(opp)(ntext(-hoek)) = 1/2 n * sin((360^@)/n) * r^2`
  Voor `n rarr oo` en `r = 1` levert dit een keurige benadering op van `pi`.
  Eudoxus kon echter met dit benaderingsproces niet zo gemakkelijk uit de voeten als tegenwoordige wiskundigen. Hij werkte niet alleen met een ingeschreven veelhoek, maar ook met een omgeschreven veelhoek en bewees dat de oppervlakte van de cirkel tussen beide in moest ligen met behulp van een bewijs uit het ongerijmde.
  Eudoxus' gebruikte dezelfde methode om aan te tonen dat:
  • de inhoud van een piramide met een vierkant grondvlak precies het derde deel is van een balk met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte;
  • de inhoud van een kegel met een cirkelvormig grondvlak precies het derde deel is van een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte;
  • enzovoorts...

  Later ging Archimedes met dergelijke berekeningen door, onder andere in zijn werk "Over de bol en de cilinder".

• over de verdubbeling van de kubus:
  Omdat Archytas al heel erg was geïnteresseerd in het klassieke probleem van de verdubbeling van de kubus, heeft ook Eudoxus (zijn leerling) zich daar veel mee bezig gehouden. Waarschijnlijk heeft Eudoxus dat probleem opgelost met behulp van een speciale kromme. Deze oplossing is echter verloren gegaan.

 

Verder hield Eudoxus zich bezig met de astronomie.
Hij heeft bij Cnidos een observatorium gebouwd waar vandaan hij de ster Canopus bestudeerde. Op grond van diverse waarnemingen daar schreef hij boeken als "De Spiegel" en de "Phaenomena" en "Over snelheid", boeken die overigens verloren zijn gegaan.
In zijn wereldbeeld bewogen de planeten op boloppervlakken met de aarde in het centrum die ten opzichte van elkaar draaiden. Deze gedachten zijn afkomstig van de Pythagoreërs, waarschijnlijk via zijn leermeester Archytas. Omdat de assen waaromheen de bollen draaiden niet vast lagen, maar zelf ook weer bewogen, bewogen de planeten vanuit de aarde gezien in ingewikkelde banen. Eudoxus hield zich bezig met het beschrijven van de constructie van die banen. Voor Eudoxus was dit wereldbeeld waarschijnlijk slechts een model, want de banen die er uit voortvloeiden strookten niet met zijn observaties.
Merkwaardig genoeg dachten latere filosofen als bijvoorbeeld Aristoteles dat Eudoxus hiermee de werkelijke situatie had beschreven.

Tenslotte heeft Eudoxus een boek over geografie geschreven, dat heette "Een tocht om de aarde". Hoewel ook dit boek verloren is geraakt, wordt het regelmatig aangehaald in andere geschriften. Het bestond uit 7 delen waarin Eudoxus de hem bekende volkeren (onder andere de Egyptenaren) beschreef en hun politieke systemen, hun geschiedenis en hun achtergronden. Het laatste deel was een verhandeling over de Pythagoreërs in Zuid-Italië.

 

 

 

---

Math4all