Doen en niet doen

Als je wiskunde wilt uitleggen, dan zijn er "goede manieren" om dit te doen, maar ook "slechte manieren". We hebben hier een lijst gemaakt van zaken waarvan we denken dat die echt helpen om leerstof te verduidelijken en ook van maniertjes die je beter kunt vermijden. Vaak zijn ze gebaseerd op lesobservaties!

Achter een groen balkje staat iets wat we aanbevelen.

Achter een rood balkje staat iets wat we afraden (maar waar we dan soms wel aangeven hoe je het wel kunt doen/gebruiken/toepassen).

We zullen deze lijst blijven aanvullen!

Over wiskundedidactiek in het algemeen


	Spreek altijd met een rustige, zachte stem (waardoor de groep vanzelf ook wat rustiger wordt), geef complimenten, maak weinig woorden vuil aan regie en ga zo snel mogelijk van start.

	Geef altijd eerst de leerling de ruimte om gedachten te formuleren.

	Doe nooit zomaar even voor “hoe het moet”. Wiskundeles is wat anders dan het bespreken van een gebruiksaanwijzing om een IKEA-kast in elkaar te zetten.

	Vraag bij een opmerking als “ik snap het niet” altijd naar nadere specificatie en ga door vragen terug naar het afhaakmoment.

	Laat nooit merken dat een vraag die een leerling stelt een “domme vraag” is. Domme vragen bestaan niet. Er bestaan alleen domme reacties en domme antwoorden.

	Oefen niet eenzijdig steeds dezelfde techniek, maar oefen gevarieerd. Dus niet alleen kwadratische drietermen in de standaardvolgorde ontbinden, maar zet er ook tweetermen tussen, gebruik de andere volgorde, etc.

	Ga zoveel mogelijk terug naar de basisbegrippen als je iets “uitlegt” (= wilt laten ontdekken), gebruik plaatjes, vertel dat delen iets als vergelijken van verhoudingen of herhaaldelijk afhalen betekent. En iets dergelijks bij breuken vermenigvuldigen.

	Denk bij het introduceren van nieuwe basisbegrippen altijd goed na over de “uitbreidbaarheid” ervan. Veel begrippen moet je inbedden in een denkschema dat later nog moet worden uitgebreid, die mogelijkheid tot uitbreiden moet blijven.

	De vraag “Waar heb ik dit voor nodig?” zul je als wiskundedocent in je carrière nog 100.000 x krijgen. Zorg er altijd voor dat je een geschikt antwoord beschikbaar hebt, liefst in de vorm van een voorbeeld uit het dagelijks leven. En kun je geen geschikt antwoord vinden, draai er dan niet omheen en wees daar eerlijk over.

	Het is voor vrijwel elke docent heel verleidelijk om bij een goed antwoord meteen okay te roepen. Veel effectiever voor veel meer leerlingen is het om het gegeven antwoord door andere leerlingen te laten beoordelen: “Ben je het met haar eens?” “Klopt het volgens jou wat hij zegt?” “Zeker weten?” - en dus het goed/fout nog even in te slikken.

	Sluit je les in principe altijd af met een korte samenvatting van wat aan bod kwam. Stel controlevragen of het is begrepen. Stel die vragen bij voorkeur niet aan de klas in het algemeen maar aan individuele leerlingen in het bijzonder.

	Een klassengesprek hoeft niet volledig te zijn: je mag uitweiden, reageren op vragen, je kunt voortborduren op (foute) antwoorden en opmerkingen van leerlingen, dingen die je ter plekke verzint er bij slepen. Het boek zorgt wel voor uitleg/oefening over de zaken die je al dan niet bewust had overgeslagen. Bovendien kun je altijd in een volgende les wat gaatjes opvullen.

	Bedenk dat, hoe goed/mooi digitale presentaties (PowerPoints, e.d.) ook zijn, het zelf schrijven en foutjes maken en doorhalen en pijlen zetten en schetsen en poetsen en verbeteren (…) veel instructiever is. Gebruik dergelijke presentaties vooral voor het bewaren van de lijn in je verhaal zodat je niets vergeet en voor samenvattingen, overzichten, lijstjes, i.h.a. dingen die je niet op bord zou schrijven omdat het goed leesbaar moet zijn en (te) veel schrijfwerk is.

	Stimuleer groepswerk, laat leerlingen samen oplossingen verzinnen op een zodanige wijze dat de intellectueel snelle en praktisch handige leerlingen allemaal hun rol vinden.

	Gebruik elk jaar enkele momenten om projecten, of praktische opdrachten te doen waarin het gebruik van wiskunde om iets te bereiken duidelijk wordt.

Over opgaven maken / probleemoplossen


	Laat nooit de wiskunde degraderen tot opgaven maken, opgaven zijn een middel, geen doel. Doe dus niet moeilijk als iemand niet alle opgaven heeft gemaakt, maar wel als hij/zij het doel niet heeft gehaald.

	Leg uit waarom je bepaalde opgaven voorstelt om de leerling zelf te laten maken en bespreek vooral het beoogde doel. Ga aan het begin van de volgende les na, of het beoogde doel van de vorige les is gehaald.

	Beperk je niet alleen maar tot het laten doen van de “sommetjes in het boek”. Oh ja, gebruik nooit het woord “sommen” of “sommetjes” als je “opgaven” bedoeld.

	Oefen niet eenzijdig steeds dezelfde techniek, maar oefen gevarieerd. Dus niet alleen kwadratische drietermen in de standaardvolgorde ontbinden, maar zet er ook tweetermen tussen, gebruik de andere volgorde, etc.

	Gebruik zoveel mogelijk correcte notaties en bespreek in ieder geval de minder correcte, b.v. heb het over de verschillende betekenis van dezelfde mintekens, de verschillende betekenis van dezelfde haakjes, etc.

	Laat nooit incomplete of (daardoor?) foute dingen op het bord staan. Heb je geen tijd om een uitwerking af te maken, poets ‘m dan weg. Bedenk dat als je dingen op het bord schrijft, je meestal gelijktijdig ook spreekt en dingen aanwijst en die woorden en aanwijzingen niet opschrijft: `4a+17=29` ` a=3` is wel heel cryptisch voor een leerling die even niet goed oplette. Terwijl je zei: “`4a+17=29` … links en rechts 17 aftrekken … dus `4a = 12` … delen door `4` … geeft `a=3`” en intussen ook nog de `17` aanwees en de `29` en de `4`.

Over getallen en rekenen


	Positioneel stelsel Plak papiertjes met cijfers naast elkaar op het bord: bijv. [9] [3] [6] [8] en geef nog een papiertje met een [5]. Waar moet ik dit hangen om het getal zo groot mogelijk te maken?

	Positioneel stelsel En: maak met [3] [6] [8] [9] twee getallen die opgeteld een zo groot mogelijk antwoord geven. (Vermoedelijk komen leerlingen met twee getallen van 2 cijfers – dan kun je zeggen dat het nog veel beter kan …) Het wordt wiskundig interessant om de regels die hier spelen te formuleren.

	Eenheden noteren: `5` m³ en dm³ Hoe verwarrend is onze wijze van noteren! Waarom is `5` m³ niet hetzelfde als (5m)³ maar dm³ wel hetzelfde als (dm)³? Waarom is dm³ niet hetzelfde als d m³, maar `a` m³ wel hetzelfde als `a` m³?

	Vermijd “foutieve” notaties, dus: liever `22/7` dan `3 1/7`; liever `2 - text(-) 3` dan `2 - -3`; etc.

	Gebruik nooit trucjes als “delen door een getal is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde” of de klassieke staartdeling als je niet begrijpelijk kunt uitleggen hoe en vooral waarom ze werken. Hetzelfde geldt voor “teller x teller en noemer x noemer” bij vermenigvuldigen.

	Bedenk dat de klassieke staartdeling gewoon gebaseerd is op het aftrekken van veelvouden van het getal waar je door deelt. Welke veelvouden dat zijn, maakt weinig uit. Door het slim te doen - en gebruik te maken van het decimale stelsel - kun je de staartdeling korter houden. Dat is natuurlijk prettig, maar niet noodzakelijk. Het basisbegrip van "veelvouden aftrekken" is belangrijker dan de zo efficiënt mogelijke methode gebruiken, zeker als dit alleen een trucje is.

Over algebra, formules, e.d.

Als je met elkaar ziet dat de tabel

`0`	`1`	`2`	`3`
`0`	`4`	`8`	`12`

een mooie regelmaat vertoont, dan ligt het erg voor de hand te vragen naar wat er onder `4` zou moeten staan en onder de `10`. En boven de `32`.
Zo kun je de geesten alvast rijp maken voor de komende formules, zonder die formules al te gebruiken. Dan mag je gerust dingen vragen/ informeel benoemen die pas wat later “officieel” aan bod komen.
En kijk alvast ’s naar

`1`	`2`	`3`	`5`	?	`0`
`5`	`9`	`13`	?	`25`	?

Geen eenheden als variabele
Gebruik het €-teken niet als variabele voor de kosten in een formule. Dat is verwarrend omdat € (euro) een heel bekend symbool is voor een eenheid. Je zou, net zo, ook niet overwegen om ° (graden) als variabele te gebruiken om maar een ander voorbeeld te noemen.
Dus gebruik `k` of iets dergelijks als het om kosten gaat en meld dat `k` staat voor de kosten in euro.
Maar gebruik ook eens een `p` of `m` voor kosten. De feitelijke letter (of het symbool) doet er niet toe (zolang dit maar niet tot verwarring kan leiden). Je zou ook een appeltje of driehoekje als symbool kunnen nemen, maar een letter is wel gemakkelijker. Laat je leerlingen dat ook maar ervaren.

Balansmodel
Een korte centrale herhaling: `4a+17=29` wordt `4a+17-17 = 29-17` dus `4a = 12` (“`4` keer `a = 12`”).
Voor sommige leerlingen is de volgende stap niet duidelijk - dat je moet delen om `a` te bepalen.
Je kunt dat inzichtelijk maken door de balans te tekenen en de `4a` te tekenen als `4` losse `a`-tjes links en rechts de `12` te splitsen in `4` porties van `3`. Dan is duidelijk dat één `a` gelijk is aan `3`.
Hoe vond ik die `3`? Door `12` door `4` te delen.
Met nog een paar van die voorbeelden is het duidelijk en hoef je de balans er niet meer bij te tekenen. Bedenk dat een balans beperkt is als denkmodel: `4a = text(-)12` wordt al een stuk lastiger voor te stellen met een balans.

Over meetkunde, e.d.


	Coördinaten Het woord “ordinaat” werd vroeger voor de `y`-waarde gebruikt – voor de `x` was er een ander woord (de “abcis”). Later werden die “de samenwerkende ordinaten”, ofwel de co-ordinaten. Een coördinaat is dus een element van een stelletje coördinaten en die vormen samen een punt in een coördinatenstelsel. “Punt” mag je hier lezen als een punt in een 2- of meer dimensionale ruimte. De notatie `( ... , ... )` geeft dat stel coördinaten aan. De komma is de scheider. Omdat de komma natuurlijk ook gebruikt wordt voor een decimalen scheider is dat een wat verwarrende keuze. Als coördinatenscheider wordt daarom ook gebruikt een puntkomma of een wat grotere witruimte.

	Bij het bepalen van de oppervlakte van een kegel (eigenlijk: die van de kegelmantel) heb je op enig moment de oppervlakteformule van een cirkel nodig. Zorg in een les waarin dat aan bod komt dat die formule weer opgefrist is en dat je leerlingen weten hoe ze de oppervlakte met hun rekenmachine kunnen berekenen (dus vooral: dat ze weten waar `pi` zit op hun rekenmachine).

	Oppervlakteformules zijn niet heilig. Vaak kun je heel goed terug vallen op het werken met een verdeling in rechthoeken en halve rechthoeken. Of met een rechthoekige omlijsting waar je (halve) rechthoeken afhaalt.

Math4all