Diophantos

De tijd van Diophantos

Diophantos leefde in de derde eeuw na Chr. De Griekse wetenschap en cultuur was in die tijd ingebed in het Romeinse Rijk. Vooral Alexandrië was daarvan het middelpunt, het Griekse vasteland was in voor wat betreft de ontwikkeling van de wiskunde en de sterrenkunde al in verval geraakt.
In Alexandrië overleefde de erfenis van de grote Griekse wiskundigen als Euklides en Apollonius. De Romeinen zelf hadden weinig belangstelling voor het beoefenen van deze wetenschap; grote Romeinse wiskundigen hebben nooit bestaan. Maar ze stonden verdere ontwikkeling niet in de weg, totdat het vroege Christendom het wantrouwen tegen vrijzinnig wetenschappelijk denken deed aanwakkeren. En enkele honderden jaren later viel dit gebied in handen van de Mohammedanen die het zwaartepunt van de cultuur zouden verleggen naar de omgeving van Baghdad.

 

 

 

Het werk van Diophantos

De "Arithmetica" (de "Rekenkunde") is een verzameling van zo'n 130 problemen waarin de oplossingen werden beschreven van bepaalde types vergelijkingen. Maar een deel van de oorspronkelijke 13 boeken waaruit de Artithmetica bestond zijn bewaard gebleen via Arabische vertalingen. Daaruit blijkt dat Diophantos een wat ruimer getalbegrip hanteerde dan zijn voorgangers.

Tot die tijd stelden de Griekse wiskundigen dat alleen `2`, `3`, `4`, `5`, enzovoorts getallen waren. Zelfs de `1` werd niet als getal beschouwd maar als maat voor de "echte" getallen: `2` betekende twee keer de eenheid `1` en was het eerste getal. Ze gebruikten voor die getallen letters die ze (om aan te geven dat het geen woorden waren) van een streep erboven voorzagen:

Griekse cijfers
eenheden	tientallen	honderdtallen	voorbeelden
`alpha = 1`	`iota = 10`	`rho = 100`	`iota alpha = 11`
`beta = 2`	`kappa = 20`	`sigma = 200`	`rho nu gamma = 153`
`gamma = 3`	`lambda = 30`	`tau = 300`	`alpha tau epsilon = 1305`
`delta = 4`	`mu = 40`	`upsilon = 400`
`epsilon = 5`	`nu = 50`	`varphi = 500`
ς` = 6`	`xi = 60`	`chi = 600`
`zeta = 7`	ο`= 70`	`psi = 700`
`eta = 8`	`pi = 80`	`omega = 800`
`theta = 9`	Ο` = 90`	Τ` = 900`

Breuken waren geen getallen, maar werden uitsluitend opgevat als verhouding van twee getallen: `2//7` was de verhouding van `2` eenheden op `7` eenheden. Diophantos was de eerste wiskundige die ook breuken als oplossing van een vergelijking toeliet. Decimale getallen kende hij echter niet, het hele decimale stelsel was in die tijd nog onbekend! En ook negatieve getallen bestonden niet...

Het oplossen van lineaire en kwadratische vergelijkingen staat in de "Arithmetica" centraal. Diophantos zoekt daarbij naar positieve rationale wortels, oplossingen dus die bestonden uit positieve breuken of gehele getallen. Vergelijkingen die leidden tot negatieve oplossingen of tot wortels (onmeetbare getallen) als oplossing beschouwde hij als nutteloos. De moderne notaties, zoals het gebruik van tekens voor optellen, aftrekken en vermenigvuldigen en delen alsmede het gebruik van letters voor variabelen, kende Diophantos niet. Dergelijke notaties raakten pas na 1500 in gebruik. Maar Diophantos werkte wel met symbolen: bijvoorbeeld een vaste Griekse letter voor de onbekende, vaste tekens voor 'kwadraat' (tweede macht) en 'kubus' (derde macht). Hij kende zelfs symbolen voor hogere machten, hoewel de Griekse wiskundigen voor hem het bestaan van dergelijke machten niet erkenden omdat ze geen meetkundige betekenis hadden.
(In het vervolg van de tekst wordt onze moderne notatie gebruikt!)

Diophantos bestudeerde drie soorten van kwadratische vergelijkingen, namelijk `x^2 + bx = c`, `ax^2 = bx + c` en `ax^2 + c = bx`.
Dat deze gevallen voor hem verschillend waren kwam doordat hij het getal `0` niet kende en veronderstelde dat `a`, `b` en `c` positieve constanten waren.
Ook bestudeerde hij situaties waarin stelsels vergelijkingen met meerdere onbekenden in voorkwamen.
Hier vind je een paar voorbeelden van de problemen die Diophantos besprak:

Probleem: Van twee getallen is de som gegeven alsmede het verschil van hun kwadraten. Vind deze getallen als de som `20` is en het verschil van de kwadraten `80`. Oplossing: Noem het verschil van beide getallen `2p`. De getallen zijn dan `10 + p` en `10 - p`. Het verschil van de kwadraten is `(10+p)^2 - (10-p)^2 = 80`. Dat betekent (uitwerken): `40p = 80`. En dus: `p=2`. De getallen zijn dan `12` en `8`.

Probleem: Van twee getallen is de som gegeven alsmede hun product. Vind deze getallen als de som `10` is en het product `9`. Oplossing: Stel dat het verschil van beide getallen `x` en `y` gelijk is aan `2p = x - y`. Dan is `x = 5 + p` en `y = 5 - p`. Dus: `x * y = (5 + p) * (5 - p) = 25 - p^2 = 9`. Dit betekent dat `p^2 = 16` en dus `p = 4`. Conclusie: `x = 9` en `y = 1`.

Probleem: Een gegeven getal is de som van twee kwadraten. Verdeel dit getal in twee andere kwadraten als het gegeven getal is `13 = 2^2 + 3^2`. Oplossing: Neem voor de gezochte kwadraten `(2 + p)^2` en `(3 - mp)^2`. Vervolgens probeert Diophantos maar wat; hij kiest `m = 2`. Waarom hij dat doet is onbekend, maar wellicht heeft hij eerst `1` geprobeerd en gezien dat je dan weer op `2` en `3` uitkomt. Dan was `2` gewoon de volgende mogelijkheid. Nu vindt hij: `(2 + p)^2 + ( 3-2p)^2 = 13`. Dus: `5p^2 - 8p + 13 = 13`. Dit geeft: `5p^2 - 8p = 0`. Diophantos kent het getal `0` niet en maakt hier daarom van: `5p - 8 = 0` en dus `p = 8/5`. De gevraagde kwadraten zijn: `324/25` en `1/25`.

Ook bestudeerde Diophantos methoden om machten te vinden tussen twee gegeven grenzen. Om bijvoorbeeld een kwadraat te vinden tussen `5/4` en `2` vermenigvuldigde hij beide getallen met `64`, ziet het kwadraat `100` tussen `80` en `128` en vindt zo de oplossing `100/64 = 25/16`.
Hier gaat het in feite om getallentheorie. Op dat gebied wist Diophantos het nodige, bijvoorbeeld:

• een getal van de vorm `4x + 3` of `4n - 1` kan nooit de som van twee kwadraten zijn;
• een getal van de vorm `24n + 7` kan nooit de som van drie kwadraten zijn;
• elk getal kan worden geschreven als de som van vier kwadraten (een bewijs werd pas gevonden door de Franse wiskundige Lagrange, zelfs de grote getallentheoreticus Fermat beet er zijn tanden op stuk!).

 

Duidelijk is wel dat Diophantos vooral werkt aan manieren om bepaalde problemen op te lossen, maar nauwelijks aan algemene oplossingsmethoden. Dat was ook lastig, want hoewel Diophantos werkte met eigen symbolen, moest hij toch zijn problemen veelal in woorden beschrijven.

Uit geschriften van anderen, uit verwijzingen in de "Arithmetica" en uit teruggevonden fragmenten blijkt dat Diophantos meer werken over wiskunde heeft geschreven. Veel van zijn werk is echter verloren gegaan. Pas in 1463 maakten wiskundigen in West-Europa kennis met werk van Diophantos doordat Regiomontanus schreef over de Arithmetica, die nog altijd niet was vertaald in het Latijn. Dat gebeurde pas in 1570 door de Italiaanse wiskundige Bombelli, maar deze vertaling werd nooit gepubliceerd. De bekendste Latijnse vertaling van Diophantos' Arithmetica stamt uit 1621 en is van de hand van Bachet. Dit is de versie die werd bestudeerd door Fermat en waardoor deze werd geïnspireerd tot zijn beroemde stellingen over getallen...

 

 

 

---

Math4all