De Volvo Oceanrace

Een praktische opdracht voor de tweede fase vwo N-profielen

Bronnen:	Wikipedia: Volvo Ocean Race Volvo Ocean Race. Nederlandstalige site over oceaanzeilen Volvo Ocean Race Game
Auteur opdracht:	Fokke de Boer
Resultaat:	Leesbare uitwerking gemaakt in een tekstverwerker (titelblad downloaden).
Studielast:	8-10 uur (als je deze opdracht combineert met wiskunde D, het onderwerp "Krommen en oppervlakken" zul je er meer tijd voor nodig hebben!)

Zeezeilen is iets dat je niet zomaar doet. Er komt wel het één en ander bij te kijken. En daarbij is wiskunde een handig hulpmiddel. Neem als inleiding op deze opdracht het artikel door.

Eén van de belangrijkste dingen die je op zee goed moet kunnen is navigeren. Omdat de aarde bij benadering een bol is, speelt de tak van de wiskunde die bolmeetkunde heet daarbij een grote rol. In deze opdracht ga je daarmee bezig aan de hand van een etappe uit de Volvo Oceanrace, een zeilrace rond de wereld.

Inleiding op de bolmeetkunde

Probeer zo goed mogelijk antwoord te geven op de volgende opdrachten. Als hulpmiddel kun je het best een echte zeekaart gebruiken, maar een andere kaart kan soms ook wel.

Een (zee)kaart heeft een graden-minutenverdeling op de staande en de liggende randen. Meridianen zijn op die kaart verticaal getekend en breedtecirkels horizontaal. Zeelieden gebruiken die graden- minutenverdeling voor het bepalen van hun positie. Dus voor het bepalen van de plaats waar ze zich op de aardbol bevinden. Ook kunnen zeelui deze kaart gebruiken om afstanden en koersen te bepalen, immers een zeemijl is hetzelfde als een minuut op de verticale rand van de kaart en de kaart is hoekgetrouw.

Waarom gebruiken zeelui de minutenverdeling op de horizontale rand niet voor de afstand?

Nu enkele afspraken over de bolmeetkunde op de aardbol.

Een zeemijl (ongeveer `1852` meter) is precies één minuut op de staande rand van een zeekaart.
Opmerking: Je weet waarschijnlijk wel dat de lengte van een grootcirkel (dat is een cirkel waarvan het middelpunt ook het middelpunt van de bol is) op de aarde ongeveer `40 000 000` meter is. Dit moet gedeeld worden door `360 xx 60` om precies één zeemijl te krijgen, omdat dit het aantal minuten is waarin de cirkel verdeeld is.
Eén zeemijl is dus `(4*10^7) / (360 * 60)` meter. Reken dit even na. Deze berekening kan natuurlijk niet m.b.v. de verdeling op de liggende rand, behalve bij de evenaar. Waarom niet?
Voor het gemak gebruik je als lengte-eenheid in berekeningen de zeemijl. In de tekeningen zal deze lengte-eenheid steeds overeen komen met de minutenverdeling op de staande rand van de zeekaart.
Tenzij anders wordt vermeld, is de afstand tussen twee punten op aarde een afstand over het boloppervlak gemeten langs de grootcirkel.
Plaatsbepalingen op een bol doe je met coördinaten. Je gebruikt een plaatsvector met als lengte de straal van de bol. Deze vector begint in het middelpunt van de bol. De richting wordt bepaald door twee hoeken, de azimut (`alpha`) en de elevatie (`epsilon`). Zie de figuur.
Wat is de beginpositie van deze vector? Nu laat je de vector eerst langs de evenaar draaien, hierdoor ontstaat een azimuthoek "de lengte". Daarna laat je de vector omhoog draaien langs een meridiaan, hierdoor ontstaat een elevatiehoek "de breedte".
De lengtehoek draait in het vlak van de evenaar maximaal `180^@` rechtsom (westerlengte WL), of linksom (oosterlengte OL). De breedtehoek draait in het vlak van een meridiaan `90^@` omhoog (noorderbreedte NB), of `90^@` naar beneden (zuiderbreedte ZB).
Definitie: Een loxodroom is een lijn over de bol, waarbij in elk punt van die lijn dezelfde hoek met de noord-zuid richting maakt. Als je over een loxodroom over de aardbol reist, dat wijst het kompas steeds dezelfde koers aan.

Gebruik deze afspraken in de rest van de opdracht.

Bekijk het bolcoördinatensysteem om op de aarde een positie aan te geven m.b.v. WL, OL, NB en ZB. Zoek in een atlas de positie van je eigen woonplaats op. Ga na hoe je nu die plaats op de aardbol kunt aangeven.

Reizen over de aardbol

Zie ook de figuur. Stel je volgt de vliegroute van een vliegtuig dat ongehinderd van Amsterdam (`A`) naar Vancouver (`V`) vliegt. Het vliegtuig vliegt dus langs "rechte lijnen op de bol".
Positie van `A`: `5^@` OL, `52^@` NB.
Positie van `V`: `123^@` WL, `52^@` NB.
Je kunt nu op twee manieren tussen de punten `A` en `V` reizen.

Langs een lijn die evenwijdig aan de evenaar loopt door `A` en `V`.
Langs de grootcirkel die door `A` en `V` gaat.

Wat is het verschil tussen beide reizen? En wat betekent dit voor het kompas onderweg?

De afstand tussen beide punten kun je dus op twee manieren berekenen:

Langs een breedtecirkel gaat dat zo:
`/_ A'OV' = 123^@ + 5^@`. Dus ook `/_VMA = 128^@`.
De lengte van boog `A'V'` is daarom `128 xx 360 xx 60 xx 1852` meter.
De lengte van loxodroom `AV` is dan:
`128 xx 60 xx 1852 xx cos(52^@) = 8 756 775` meter.
Langs de grootcirkel gaat dat zo:
In driehoek `MAA'` is `MA' = MV' = cos(52^@)`.
In de gelijkbenige driehoek `MV'A'` is nu ook `V'A' = VA` te berekenen. Omdat je zijden van gelijkbenige driehoek `VMA` kent (namelijk `1`, `1` en `VA`), kun je `/_AMV` berekenen: `/_AMV = 67,19^@`. Dit is een middelpuntshoek van de grootcirkel.
Dus de afstand over de grootcirkel is:
`AV = 67,19 xx 60 xx 1852 = 7466673` meter.

De afstand tussen twee punten op een bol is de lengte van het boogstuk van de grootcirkel op de bol die door die punten gaat. Het middelpunt van een grootcirkel valt samen met het middelpunt van de bol.

Maak maar eens een eenvoudige tekening met twee punten in een plat vlak. Teken door deze punten een paar cirkels met verschillen stralen zodat duidelijk zichtbaar wordt, hoe groter de cirkel hoe korter de boog. De grootcirkel is de grootse cirkel die je op een bol tussen twee punten kunt tekenen. Dus de kortste verbinding tussen twee punten op een bol.

Leg uit waarom de lengte van een breedtecirkel de lengte van de evenaar is vermenigvuldigd met de cosinus van de breedtehoek.
Bereken zelf de afstand tussen Kaapstad in Zuid Afrika ( `31^@` ZB en `23^@` OL) en Perth op de west kust van Australië (`31^@` ZB en `116^@` OL). Het probleem hierbij is of je de afstand berekent langs een breedtecirkel, of langs de grootcirkel. Soms zullen zeelieden, als ze de oversteek tussen Kaapstad en Perth moeten maken niet kiezen voor een tocht over de grootcirkel, maar over de loxodroom, in dit geval de breedtecirkel. Waarom?

Navigatie: De zeilreis van Auckland naar de Straat van Magelhaens.

De Volvo Ocean Race is een zeilrace die eens in de paar jaar gehouden wordt. Bij deze zeilrace moeten de teams met hun schip in verschillende etappes rond de wereld zeilen. In deze opdracht ga je één van die etappes meezeilen (navigeren). Als voorbeeld zou je kunnen kiezen de etappe van Auckland (Nieuw-Zeeland) naar Kaap Hoorn (Zuid Amerika), of beter gezegd naar de straat van Magelhaens, de smalle doorgang van de Stille Oceaan naar de Atlantische Oceaan. Deze etappe gaat onder het hogedrukgebied van de Stille Oceaan door en door de depressiebaan van de 50e-60e breedtegraad. Veel zeilers zullen kiezen voor een tocht over de loxodroom tussen beide punten, terwijl de route over de grootcirkel ruwweg `650` mijl korter is. Bovendien wil de wedstrijdleiding een verplicht waypoint (een punt dat je beslist moet passeren) inlassen, opdat de zeilers niet te zuidelijk zullen komen.

Wat is er aan de hand op deze zwaarste en gevaarlijkste etappe van de zeilrace rond de wereld? Uiteraard zullen de nodige bolmeetkundige vraagstukken vooraf door de kapitein en zijn navigator moeten worden opgelost en zal de weerkundige de weersystemen nauwkeurig bestuderen. Wat zijn bijvoorbeeld de heersende winden en waar komen deze voor? Men zal moeten proberen mee te "liften" met de beste weersystemen die daar van west naar oost trekken, de depressies waar veel wind in zit.

Zoek in een goede atlas de posities op van Auckland en de ingang van de Straat van Magelhaens.
Voor het bepalen van een vaarroute zal de kapitein en de navigator van een zeilteam heel nauwkeurig de kaart bestuderen en de gewenste route omschrijven. Het vastleggen van alleen het begin en eindpunt is veel te ruw. Er zullen verschillende tussenposities worden berekend, waypoints. Ook het eindpunt is niet goed omschreven. Je komt namelijk alleen in de straat van Magelhaens als je aanvaart op Cabo Deseado. Kijk maar in de atlas. (Kaap van Deseado: `74^@42'` WL en `52^@45'` ZB)

Je gaat nu de juiste route die je met een zeilboot doorloopt als deze langs de grootcirkel vaart op de kaart uitstippelen. Hiertoe bereken je van minstens `5` waypoints die op deze baan liggen de positie in breedtegraden en lengtegraden. Maak een tabel. Je ziet in de figuur de grootcirkel van A (Auckland) naar S (Cabo Deseado) getekend (de rode cirkel).
Bedenk een manier om de lengtegraad en de breedtegraad van zo'n waypoint nauwkeurig te berekenen. Teken de waypoints op een kaart die is getekend in Mercatorprojectie. (Een Mercatorkaart is hoekgetrouw. Dit is een zeer belangrijke en bijzondere eigenschap van zo'n kaart. Het is de reden waarom de kaart nog altijd door zeelieden gebruikt wordt. Hoekgetrouw betekent dat de hoeken die je op zo'n kaart meet ook de hoeken zijn die op de bol gebruikt moeten worden voor bijvoorbeeld de koers.)
Teken zo nauwkeurig mogelijk bij alle waypoints een raaklijn aan de baan op de kaart. En meet de hoeken die deze raaklijnen maken met de noord-zuid richting. Maak een lijst met koersen bij de waypoints. Je hebt nu een volledige lijst met waypoints langs de hele route, alleen de tijdstippen ontbreken nog.
Probeer er achter te komen hoe snel de schepen van de Volvo-Oceanrace varen. Zoek bijvoorbeeld op de website van deze race. Bereken hiermee de tijd die nodig is tussen de verschillende waypoints. Maak nu een zogenaamd 'gegist bestek', dus een tabel waarin je per waypoint hun lengtegraad en breedtegraad, de geschatte koers in dat punt, de afstand in mijl tot dat punt en de geschatte aankomsttijd in U.T.C. (= Universal Time Coördinate, heet ook wel G.M.T.) en in plaatselijke tijd geeft.

Uitwerking:

Het voorgaande is bedoeld om er een idee van te krijgen hoe je op zee navigeert. Hier volgt de omschrijving van de eigenlijke opdracht die je het beste met een paar medeleerlingen kunt uitvoeren.

Stel je voor dat je een etappe van de Volvo-Oceanrace gaat zeilen en dat één van jullie de captain van het schip is, een ander de navigator en een derde bijvoorbeeld de meteoroloog. Je verdeelt als groep de taken en bereidt een etappe voor.

Maak samen een goed gegist bestek en voorzie dit van een toelichting. Denk daarbij niet alleen aan het meetkundige aspect van het navigeren, maar ook aan klimaat en weersomstandigheden. Maak bovendien een schatting over de bevoorrading. De bemanning zal ook moeten eten.
Probeer je zo goed mogelijk voor te stellen hoe de reis gaat verlopen en wat de moeilijkheden kunnen worden. Houdt daarmee rekening. Het tijdschrift "Kijk" heeft een artikel aan de Volvo Oceanrace gewijd, kijk maar in het novembernummer van 2001.
Stel je voor dat de wedstrijdleiding verplicht dat zeilschepen via een extra waypoint moeten zeilen, zodat de route eigenlijk in twee etappes gezeild wordt. Van Auckland naar waypoint `K_1` en van `K_1` naar de Straat van Magelhaens. Houd daarmee bij je bestek rekening.

Maak uiteindelijk een goed verslag van de voorbereiding van de etappe met daarbij een goed gedocumenteerd gegist bestek. (Zie de voorgaande opdrachten.) Verwerk ook de voorstudies in het verslag.