De formule van Cardano

Een praktische opdracht voor VWO, leerjaar 5 en hoger

Bronnen:	Kijk vooral goed op deze site bij 5000 jaar Wiskunde » Wiskundigen » Tartaglia, Cardano, Viète Zoeken op het internet en in wiskunde(hand)boeken (Trefwoorden: formule van Cardano, oplossen derdegraads vergelijkingen, Tartaglia, Del Ferro, Cardano, Viète)
Theorie:	Algebra: Het oplossen van derdegraads vergelijkingen.
Resultaat:	Leesbare uitwerking gemaakt in een tekstverwerker  Titelblad downloaden
Studielast:	ongeveer 12 uur

Een vergelijking zoals `x^3 + 6x = 20` kun je waarschijnlijk niet algebraïsch oplossen (probeer maar eens). Tegenwoordig is met de grafische rekenmachine wel een oplossing te vinden. Maar lang geleden bestonden er niet van dergelijke hulpmiddelen. Bovendien, vind je met de grafische rekenmachine wel alle oplossingen? En hoeveel zijn er eigenlijk? Zijn er derdegraads vergelijkingen die wel algebraïsch zijn op te lossen? Of zijn ze zelfs allemaal algebraïsch oplosbaar?

Rond 1500 was dit een 'hot item'. Wiskundigen als Del Ferro, Tartaglia, Ferrari en Cardano hielden zich onder andere bezig met het oplossen van dergelijke derdegraads vergelijkingen. Eerst Del Ferro en later onafhankelijk daarvan Tartaglia vonden een oplossing voor de eerder genoemde vergelijking. Maar Cardano publiceerde als eerste...
De formule voor de oplossing van een derdegraads vergelijking van de vorm `x^3 + px = q` heet dan ook naar hem de formule van Cardano. Bij het artikel over Tartaglia tref je op deze site een animatie aan van de methode die hij gebruikte om vergelijkingen van deze vorm op te lossen. Daarmee kun je zelf de formule van Cardano afleiden.

Derdegraads vergelijkingen van de vorm `ax^3 + bx^2 + cx + d = 0` werden door de Fransman Viète opgelost. Deze oplossing (waarbij eventueel ook de formule van Cardano kan worden gebruikt) vind je op deze site bij Viète.

Al met al krijg je zo een compleet overzicht van het oplossen van derdegraads vergelijkingen. En dat is de bedoeling van deze opdracht.

Uitwerking:

• Neem het stuk op deze site over Tartaglia door. Bekijk de daarin getoonde animatie van het berekenen van de oplossing van een bepaald type derdegraads vergelijking. Leg duidelijk uit wat er gebeurt.
• Leid nu zelf de formule van Cardano af.
• Neem vervolgens de derdegraads vergelijkingen van de vorm `ax^3 + bx^2 + cx + d = 0` en bekijk hoe Viète deze vergelijkingen wist op te lossen. Kies zelf of je daarbij gebruik maakt van de formule van Cardano. Leid een algemene formule af voor de oplossing van dergelijke vergelijkingen.
• Maak van dit alles een leesbare uitwerking. Schrijf daarin ook iets over de oplossing van de meest algemene vorm van een derdegraads vergelijking. Gebruik de bijgevoegde indeling die je hierboven kunt downloaden. Het blad waarop die indeling staat wordt het titelblad. Schrijf in je inleiding ook iets over de historische achtergronden. Kijk eventueel bij het overzicht van de geschiedenis van de algebra op deze site en bij de wiskundigen die bij het oplossen van derdegraads vergelijkingen een grote rol speelden.

Math4all