Cauchy

De tijd van Cauchy

De tijd van Cauchy is de tijd van de Franse Revolutie en de daardoor in gang gezette maatschappelijke hervormingen. Meer revoluties zouden volgen. Ten grondslag aan de Franse Revolutie lag het streven om Frankrijk om te vormen van een keizerrijk naar een door het volk geregeerde natie. Een gevolg van de nieuwe staatsvorm was de aandacht voor de inrichting van de staat, waarbij het potentieel van het volk diende te worden aangeboord. Het onderwijs kreeg hierbij een voorname rol toebedeeld. Er werden scholen gesticht om mensen op te leiden voor allerlei overheidsfuncties. Wiskunde stond daarbij uitdrukkelijk ook op het program.

Onder de initiatieven viel ook de oprichting van de Ecole Polytechnique, waar Cauchy werd benoemd om onderwijs in de wiskunde te geven. De inrichting van het nieuwe wiskunde-onderwijs leidde Cauchy tot het zoeken naar gedegen fundamenten voor de analyse. Cauchy preciseerde onder andere de begrippen limiet en continue functie. Ook Cauchy was niet onfeilbaar, een beroemd voorbeeld betreft zijn "stelling" dat de limiet van een convergente reeks continue functies zelf een continue functie is. Maar fouten kunnen ook positief uitpakken. Tegenvoorbeelden zetten mensen als Fourier en Dirichlet nader op het spoor van het begrip functie. Riemann werd erdoor gestimuleerd tot de ontwikkeling van het naar hem genoemde begrip Riemann integraal.

In de periode 1814-1816 brak Cauchy wiskundig door met de naar hem genoemde integraalstelling (over integralen van complexe functies, dat wil zeggen functies waarin complexe getallen gebruikt worden), werk over golven (waarmee hij de Grand Prix van de Académie des Sciences won) en polygonale getallen.
Bij zijn benoeming in die tijd aan de Académie des Sciences is naast zijn wiskundig werk Cauchy's royalistische houding vast van belang geweest, want in dezelfde tijd werden diverse republikeinen uit de Académie verwijderd. Frankrijk bleef het toneel van sterke politieke deining. Bij de revolutie van 1830 verving Louis-Philippe uit het huis van Orléans koning Charles X van Bourbon. Cauchy weigerde trouw te zweren aan de nieuwe koning, moest zijn posities opgeven en besloot naar het buitenland te vertrekken. Een tijd lang doceerde hij in het Italiaanse Turijn, maar hij gaf ook les aan de kleinzoon van Charles X in Praag.
Toen hij in 1838 weer in Parijs terugkeerde, kreeg hij zijn positie aan de Académie terug, maar niet zijn andere banen. Toen Louis-Phillipe bij de volgende revolutie in 1848 van de troon verdween, verkreeg hij een positie aan de Faculté des Sciences.

 

Het leven van Cauchy speelde zich af in politiek roerige tijden. Opvallend aan die tijd is dat veel wetenschappers op de een of andere manier nauw bij het politieke bedrijf betrokken waren.
In de 19e eeuw is er veel aandacht uitgegaan naar het leggen van gedegen fundamenten voor de analyse. De eerste helft speelde Frankrijk hierin een hoofdrol, in de tweede helft werd de fakkel overgenomen door Duitsland, met mensen als Weierstrass.

 

 

 

Over Cauchy

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) groeide op in Parijs in de tumultueuze tijden van de Franse revolutie. Omdat zijn vader een overheidsfunctionaris was, is het gezin enkele jaren het roerige toneel in Parijs ontvlucht. Toen Napoleon tegen 1800 aan de macht kwam, keerde het gezin terug. Na een klassieke vooropleiding zette Cauchy zijn opleiding voort aan de Ëcole Polytechnique in de jaren 1805-1807 en daarna aan de ingenieursopleiding École des Ponts et Chaussées. In de periode 1810-1813 werkte hij aan militaire projecten van Napoleon en verdiepte zich in zijn eigen tijd in de wiskunde. Zijn wiskundig werk uit die tijd leidde al tot diverse publicaties. Zijn ware liefde lag bij de wiskunde en in 1815 kreeg hij een onderwijspositie aan de École Polytechnique en enkele jaren later ook aan het Collège de France.

Cauchy is voornamelijk werkzaam geweest in de analyse (het gebied van de wiskunde waarin men functies, rijen en reeksen bestudeert) en de mathematische fysica. Zijn productiviteit is legendarisch en onovertroffen in de 19e eeuw (vijf boeken en meer dan 800 artikelen!). Beroemd is hij voornamelijk door zijn werk aan functies van een complexe veranderlijke en zijn streven naar exactheid in de analyse. Het onderwijs dat hij verzorgde bracht hem ertoe de grondslagen van de analyse rigoureus aan te pakken. Die grondslagen waren in de ontwikkelingen sinds Newton en Leibniz nauwelijks aan bod gekomen. Voorbeelden hiervan zijn de definitie van het begrip continue functie en de beschrijving van voorwaarden voor de convergentie van een reeks. Die nauwkeurige opzet is nog terug te vinden in de huidige universitaire cursussen analyse. Zijn naam is verbonden aan diverse begrippen en stellingen in de wiskunde, zoals de Cauchy-Riemann vergelijkingen, de Cauchy integraalstelling en de Cauchyrij.

Cauchy was niet altijd gemakkelijk in de omgang en collega wetenschappers ondervonden meer dan eens problemen met Cauchy. Cauchy's loopbaan is sterk bepaald door de politieke omstandigheden in Frankrijk. In 1830 verliet hij Frankrijk en vertrok naar Turijn en Praag nadat hij geweigerd had trouw te zweren aan het nieuwe regime. In 1838 keerde hij terug naar Parijs, maar hij kreeg pas weer een universitaire positie na de revolutie van 1848.

Cauchy's werk is verzameld in de Oeuvres Completes d'Augustin Cauchy, een werk dat maar liefst 27 delen beslaat.

 

 

 

Werk van Cauchy

Nadat de 18e eeuw een schat aan nieuwe resultaten had opgeleverd, was Cauchy een van de eersten die zich in de 19e eeuw over de exactheid in het wiskundig denken boog. Men werkte wel met begrippen als functie, limiet, afgeleide en integraal, maar de omschrijving van die begrippen werd steeds meer als gebrekkig en vaag ervaren. Te vaag om te weten of het op die begrippen gebaseerde bouwwerk van de analyse wel helemaal deugde. Tegenwoordig worden heldere preciese definities als een must in de wiskunde gezien. Ofschoon Cauchy's beschrijving van begrippen in moderne ogen nog steeds wel wat te wensen overlaat en discussie oproept, heeft hij onmiskenbaar een forse stap in de richting gezet. Hieronder zie je enkele voorbeelden van de manier waarop Cauchy begrippen beschreef. Het betreft overigens geen letterlijke weergave van Cauchy's teksten.

 

Convergentie van een reeks

Stel je een rij van (reele) getallen $a_0$, $a_1$ , $a_2$, ... voor. Hieruit kun je een nieuwe rij $s_0$, $s_1$, $s_2$, ... maken door het voorschrift:
$s_n=a_0+a_1+\dots +a_{n-1}+a_n$ ,
dat wil zeggen de som van de getallen $a_1,a_2,\dots ,a_{n-1}$.

Dus $s_0=a_0$, $s_1=a_0+a_1$ enz.
Je spreekt dan van een reeks. Als de som $s_n$ een getal $S$ steeds meer benadert naarmate $n$ groter en groter wordt, dan noemt Cauchy de reeks convergent met som $S$.
Als er niet zo'n getal te vinden is waartoe $s_n$ nadert als $n$ willekeurig toeneemt, dan is de reeks divergent en zonder som.
Een bekend voorbeeld is de meetkundige reeks. Je start met de rij getallen $\mathrm{1,}x,x^2,x^3,\dots$ (dus $a_n=x^n$). Als de absolute waarde van $x$ kleiner is dan $1$, dan heb je te maken met een convergente reeks (waarvan we de som precies kunnen aangeven, namelijk $\frac{1}{1-x}$.
Als de absolute waarde van $x$ groter dan $1$ is of gelijk aan $1$, dan is de reeks divergent. Beide uitspraken zijn af te leiden uit het feit dat de som van de eerste $n$ termen,
$1+x+x^2+\dots +x^n$,
gelijk is aan $\frac{1-x^n}{1-x}$.

 

Integraal

Bij de beschrijving van het integraalbegrip gaat Cauchy uit van een continue functie $y=f\left(x\right)$, gedefinieerd op een zeker interval $\left[x,X\right]$ (hij geeft elders in zijn werk een definitie van het begrip continue functie).
Verdeel dit interval door punten op dit interval aan te wijzen, $x=x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n=X$. Dit levert een aantal kleinere intervalletjes op met lengtes
$x_1-x_0,x_2-x_1,x_3-x_2,\dots ,x_n-x_{n-1}$. Vermenigvuldig nu elk van deze getallen met de functiewaarde in het linkerpunt van het bijbehorende intervalletje:
$\left(x_1-x_0\right)f\left(x_0\right),\left(x_2-x_1\right)f\left(x_1\right),\left(x_3-x_2\right)f\left(x_2\right),\dots ,\left(x_n-x_{n-1}\right)f\left(x_{n-1}\right)$ enz. en tel op:
$\left(x_1-x_0\right)f\left(x_0\right)+\left(x_2-x_1\right)f\left(x_1\right)+\left(x_3-x_2\right)f\left(x_2\right)+\dots +\left(x_n-x_{n-1}\right)f\left(x_{n-1}\right)$ .
Cauchy beschrijft dan dat als je de intervalletjes kleiner en kleiner neemt (de lengte naar $0$ laat gaan), de bovengenoemde som een limiet zal hebben. Deze limiet noemt Cauchy de bepaalde integraal.

Naar moderne maatstaven zijn deze definities nog te vaag. Bij de eerste definitie is bijvoorbeeld helemaal niet gespecificeerd wat dat benaderen nu precies inhield. Opmerkelijk is overigens wel dat zodra Cauchy de concepten gaat gebruiken in bewijzen, hij soms een preciesere definitie van een begrip hanteert dan hij bij de introductie van het begrip aangaf.

 

 

 

---

Math4all - auteur: Hans Sterk