Breuksplitsen

Breuken optellen en andersom

Voorbeeld:
`4/(x+2)+7/(x-3)=(4(x-3))/((x+2)(x-3))+(7(x+2))/((x+2)(x-3))=(4x-12+7x+14)/((x+2)(x-3))=(11x+2)/((x+2)(x-3))`

Dit is waarschijnlijk niks nieuws. Maar nu: stel je voor dat je alleen de breuk `(11x+2)/((x+2)(x-3)` te zien krijgt, en je wordt gevraagd om deze breuk te splitsen in eenvoudiger breuken. Met eenvoudiger bedoel ik in dit geval: breuken waarvan de noemer een eerstegraadsvorm is.

Een eerste logische stap is: de noemers van de gezochte breuken zijn af te lezen uit de noemer van de gegeven breuk: dus de ene gezochte breuk zal de vorm hebben van `A/(x+2)` en de andere de vorm van `B/(x-3)`. De kunst is dus om de waarden van die `A` en `B` te vinden.
Om deze waarden te vinden ga je als volgt te werk: Je maakt eerst beide breuken gelijknamig en telt ze bij elkaar op:

`A/(x+2)+B/(x-3)=(A(x-3))/((x+2)(x-3))+(B(x+2))/((x+2)(x-3))=(A(x-3)+B(x+2))/((x+2)(x-3))`

`=(Ax-3A+Bx+2B)/((x+2)(x-3))=((A+B)x-3A+2B)/((x+2)(x-3))`

Vergelijk dit nu met de gegeven breuk: `(11x+2)/((x+2)(x-3)`: dit is dus dezelfde breuk. De noemers zijn al aan elkaar gelijk, dus de tellers moeten ook aan elkaar gelijk zijn.
Dus: `A+B=11` en `text(-)3A+2B=2`
Dit stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden los je redelijk eenvoudig op: je vindt `A=4` en `B=7` (uiteraard…)
Er is nog wel een iets simpeler methode om `A` en `B` te vinden. Je hoeft dan bovenstaande uitwerking maar gedeeltelijk uit te voeren: je laat de haakjes in de teller gewoon staan.

`(A(x-3)+B(x+2))/((x+2)(x-3))=(11x+2)/((x+2)(x-3)`

Je hoeft alleen naar de tellers te kijken:

`A(x-3)+B(x+2)=11x+2`

Dit moet kloppen voor elke waarde van `x`. Dus bijvoorbeeld ook voor `x=3` (waarom is dit interessant?). Vul die waarde van `x` in de gelijkheid in:
`A*0+B*(3+2)=11*3+2` dus `5B=35` dus `B=7`.

Op vergelijkbare manier vul je `x=text(-)2` in de gelijkheid in. Je vindt: `A*(text(-)2-3)+B*0=11*(text(-)2)+2`, dus `text(-)5A=text(-)20` ofwel `A=4`.
Dus: de breuk `(11x+2)/((x+2)(x-3)` is gelijk aan `4/(x+2)+7/(x-3)`

De techniek van het terugrekenen van een samengestelde breuk naar de termen waaruit deze is ontstaan heet: breuksplitsen.

Opdracht

Splits de volgende breuken:

• `(5x+3)/((x-1)(x-3))`
• `(3x-1)/(x^2+4x+3)`

Hint bij de tweede opgave

Drie breuken

Bij het optellen van drie breuken van de vorm `A/(Bx+C)` wordt de nieuwe noemer (meestal) een derdegraadsvorm. Omgekeerd: als de noemer van een breuk derdegraads is en je wilt de breuk splitsen, dan heb je in het algemeen drie termen waarin je de breuk splitst.

Voorbeeld:

`(3x^2+13x+8)/(x^3+3x^2+2x)` is de breuk die gesplitst moet worden.

Eerst de noemer ontbinden:
`x^3+3x^2+2x=x(x^2+3x+2)=x(x+1)(x+2)`
De splitsing ziet er dan zo uit:

`A/x+B/(x+1)+C/(x+2)=(A(x+1)(x+2))/(x(x+1)(x+2))+(Bx(x+2))/(x(x+1)(x+2))+(Cx(x+1))/(x(x+1)(x+2))`

Bekijk nu weer alleen de teller: `A(x+1)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x+1)`. Deze teller moet voor elke waarde van `x` gelijk zijn aan de teller van de gegeven breuk: `3x^2+13x+8`. Dus ook als `x=0`.

`A(0+1)(0+2)+B*0+C*0=0+0+8` dus `2A=8 rarr A=4`.

Nu voor `x=text(-)1`:

`A*0+B(text(-)1)(text(-)1+2)+C*0=3*(text(-)1)^2+13*(text(-)1)+8 rarr text(-)B=text(-)2 rarr B=2`

En voor `x=text(-)2`:

`A*0+B*0+C(text(-)2)(text(-)2+1)= 3*(text(-)2)^2+13*(text(-)2)+8 rarr 2C=text(-)6 rarr C=text(-)3`

Dus `(3x^2+13x+8)/(x^3+3x^2+2x)=4/x+2/(x+1)-3/(x+2)`

Opdracht

Splits de volgende breuken:

• `2/(x^3-x)`
• `(20x^2)/((x+2)(x+1)(x-3))`
• `(x^2+x-6)/((x+2)(x+1)(x-2))`

Bij deze laatste splitsing komen er maar twee termen uit. Wat is hier aan de hand?

Hint

Dubbele factoren

Bij breuken waarvan de noemer een hogere graad heeft dan 2 kan zich een complicatie gaan voordoen bij het zoeken naar een breuksplitsing. De vuistregel bij het breuksplitsen is: de graad van de noemer bepaalt hoeveel coëfficiënten (zeg maar, de letters `A, B, …`) je nodig hebt in je splitsing. Bij een tweedegraads noemer heb je twee letters nodig: `A` en `B`. Bij een derdegraads noemer heb je er drie nodig: `A, B` en `C`. Bij nog hogere graden heb je er nog meer nodig. Dat wordt wel een hele rekenpartij, maar het kan.
Als je een derdegraads noemer van een breuk in drie verschillende factoren kunt ontbinden, kun je de breuk altijd splitsen in drie breuken met een eerstegraads noemer.
Algemener: Als je een `n^e`-graads noemer van een breuk in `n` verschillende factoren kunt ontbinden, kun je de breuk altijd splitsen in `n` breuken met een eerstegraads noemer.
Maar: wat te doen als de noemer bij de ontbinding een dubbele factor heeft, dus twee gelijke eerstegraads factoren? Dan kom je een term tekort in de splitsing.

Voorbeeld:

Bekijk de breuk `1/(x^3+2x^2+x)`

De noemer is te ontbinden: `x^2+2x^2+x=x(x^2+2x+1)=x(x+1)(x+1)`
De methode van hierboven zou betekenen dat je een splitsing krijgt van de vorm:
`A/x+B/(x+1)+C/(x+1)`
maar het zal duidelijk zijn dat deze methode hier niet werkt: als je deze optelling uitvoert komt er geen derdegraads noemer uit, maar een tweedegraads.
In dit geval hebben we een extra noemer nodig, `(x+1)^2`.
De breuksplitsing ziet er dan zo uit:

`1/(x(x+1)^2)=A/x+B/(x+1)+C/(x+1)^2`

Het rechterlid gelijknamig maken: let goed op hoe je elke term naar de gemeenschappelijke noemer `x(x+1)^2` brengt:
`A/x=(A(x+1)^2)/(x(x+1)^2)` teller en noemer met `(x+1)^2` vermenigvuldigd.

`B/(x+1)=(Bx(x+1))/(x(x+1)^2)` teller en noemer met `x(x+1)` vermenigvuldigd.

`C/(x+1)^2=(Cx)/(x(x+1)^2)` teller en noemer met `x` vermenigvuldigd.

Opgeteld levert dit:

`(A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx)/(x(x+1)^2)`

Dit moet dus dezelfde breuk opleveren als de originele, `1/(x(x+1)^2)`.

De noemers zijn gelijk, dus de tellers moeten voor elke waarde van `x` aan elkaar gelijk zijn.
`1= A(x+1)^2+Bx(x+1)+Cx`
Kies `x=0`:
`1=A*(0+1)^2+B*0+C*0 rarr A=1`
Kies `x=text(-)1`:
`1=A*0+B*0+C*(text(-)1) rarr C=text(-)1`
Nu zijn de ‘mooie’ waarden voor `x` op. Kies een willekeurige waarde die nog niet gebruikt is, bijvoorbeeld `x=1`:
`1=A*(1+1)^2+B*1*(1+1)+C*1`
Omdat we de waarden van `A` en `C` al kennen, kunnen we deze invullen om `B` te berekenen:
`1=4+2B-1 rarr B=text(-)1`
Nu is de klus geklaard: blijkbaar geldt `1/(x(x+1)^2)=1/x-1/(x+1)-1/(x+1)^2`

Opdrachten

• Controleer of de optelling van de drie breuken in het rechterlid inderdaad de breuk in het linkerlid oplevert.
• Splits nu ook de breuk `(4x+5)/(x^3-2x^2+x)`

Niet ontbindbaar

Het laatste geval dat nog moet worden onderzocht: wat te doen als er in de noemer een tweedegraadsfactor voorkomt die niet te ontbinden is. Bijvoorbeeld:
`(x^2+2x+6)/(x^3-2x^2+2x)`

De noemer kun je ontbinden tot `x(x^2-2x+2)` maar die tweede factor kun je niet verder ontbinden: de discriminant is negatief.
In deze situatie kan het toch nuttig zijn om de breuk te splitsen in een breuk met noemer `x` en een breuk met noemer `x^2-2x+2`.
Eerste probeersel: `A/x+B/(x^2-2x+2)`

Gelijknamig maken: `(A(x^2-2x+2))/(x(x^2-2x+2))+(Bx)/(x(x^2-2x+2))`

Opdracht

Laat zien dat de som van deze breuken niet voor elke waarde van `x` gelijk kan worden aan de breuk `(x^2+2x+6)/(x^3-2x^2+2x)`

Elk van de drie coëfficiënten van de originele teller (in dit geval `1, 2` en `6`) moet gelijk zijn aan de bijbehorende coëfficiënt van de teller van de gesplitste breuken bij elkaar opgeteld. Dat betekent dat je drie onbekenden moet hebben om drie vergelijkingen op te kunnen lossen. Dat lukt als je in de teller boven `x^2-2x+2` niet alleen een B zet maar een algemenere vorm `Bx+C`. De vuistregel zegt het al: omdat de noemer derdegraads is, heb je drie letters nodig.
Splits de breuk dus als volgt

`(2x+6)/(x(x^2-2x+2))=A/x+(Bx+C)/(x^2-2x+2)`

Gelijknamig maken en optellen:

`(A(x^2-2x+2)+(Bx+C)x)/(x(x^2-2x+2))`

In dit geval is het handiger om de teller uit te werken tot `(A+B)x^2+(text(-)2A+C)x+2A` en deze te vergelijken met de originele teller `x^2+2x+6` en de coëfficiënten aan elkaar gelijk te stellen.
Dus `A+B=1` en `text(-)2A+C=2` en `2A=6`. Dit is redelijk eenvoudig op te lossen: `A=3, B=text(-)2, C=8`. De splitsing wordt dus

`(2x+6)/(x(x^2-2x+2))=3/x+(text(-)2x+8)/(x^2-2x+2)`

Opdrachten

Splits de breuken:

• `(2x+1)/(x^3+x)`
• `(2x^2+2)/((x-1)(x^2+3))`
• `(2x^2+10)/((x-1)(x^2-4x+5))`