Brahmagupta

Wiskunde in de Indiase beschaving (2)

De wiskunde van de Jaina kwam in de periode na Aryabhata tot bloei in de twee 'scholen' in Kusamapura en Ujjain. Het ging daarbij vooral om de kosmologie en het omgaan met grote getallen en oneindigheid. Brahmagupta hoorde bij de wiskundigen in Ujjain en hij beschreef voor het eerst het werken met negatieve getallen en met `0` als getal. (Het zou nog 800 jaar duren voordat deze ideeën in West-Europa waren doorgedrongen!)

De bloei van de wiskunde in India in de periode van 400 - 800 na Chr. was sterk gebaseerd op de studie van enkele wiskundige "families". Dat komt omdat het hele systeem van opvoeding en leren was gebaseerd op familietraditie. Zo'n "wiskundige familie" beschikte over geschriften van voorgaande generaties die meestal bestonden uit commentaren en aanvullingen op nog weer oudere werken zoals de "Aryabhatiya" van Aryabhata. Het ging daarom bij de studie van leerboeken meestal om commentaren op commentaren op commentaren van oudere leerboeken. Vaak schreven wiskundigen binnen zo'n familie zelfs commentaren op hun eigen werk. Daarbij mikten ze op opleiding van nieuwe wiskundigen binnen de familie.
Fundamentele veranderingen in aanpak of totaal nieuwe kosmologische gezichtspunten ontstaan daarbij maar zeer langzaam. De traditie is erg belangrijk. Er werd ook weinig gedaan aan nieuwe waarnemingen, maar meer gezocht naar methoden om de eenmaal gedane waarnemingen zo goed mogelijk te benaderen. Pas aan het einde van de veertiende eeuw kwam daarin wat verandering en werden er werd systematische waarnemingen gedaan.
De wiskunde echter had daarvan bepaald geen last: vernieuwende inzichten konden immers leiden tot nog betere benadering van de bestaande waarden of nog elegantere en eenvoudiger methoden om die benaderingen voor elkaar te krijgen. De ontwikkeling van de wiskunde bloeide daarom binnen de sterrenkundige tradities ongehinderd.

Een tijdgenoot van Brahmagupta was Bhaskara I die de school in Asmaka leidde. Deze school bestudeerde vooral het werk van Aryabhata; Bhaskara I was een bekend commentator van Aryabhata's werk.

 

 

 

Brahmagupta's werk

Het boek Brahmasphuta siddhanta bestaat uit 25 hoofdstukken waarvan de eerste 10 eigenlijk een eerste versie van ditzelfde werk waren. Deze eerste hoofdstukken zijn typerend voor de Indische sterrenkunde uit die tijd. Ze behandelen de posities van de planeten, beschrijven de bewegingen ervan, gaan over maansverduisteringen en zonsverduisteringen, over de opkomst en ondergang van de hemellichamen, over het samenvallen van de posities van planeten en planeten met sterren.
De resterende 15 hoofdstukken zijn eigenlijk niets anders dan een verzameling uitbreidingen van de eerste 10 hoofdstukken. Daarin worden ook wiskundige achtergronden behandeld. Daaruit blijkt dat Brahmagupta een veel diepere kijk op getallenstelsels had dan de meeste wiskundigen uit die tijd:

• Hij definieerde het getal 0 als het resultaat van het aftrekken van een getal van zichzelf. En hij noemde enkele eigenschappen van dit getal die tegenwoordig algemeen bekend zijn:
  • Als `0` bij een getal wordt opgeteld verandert dit getal niet.
  • Als een getal met `0` wordt vermenigvuldigd komt er `0` uit.
• Brahmagupta kende (als eerste?) de negatieve getallen!
  Hij werkte met bezit en schuld en beschreef daarmee rekenregels voor positieve en negatieve getallen:
  • Een bezit min `0` is hetzelfde bezit.
  • Een schuld min `0` is dezelfde schuld.
  • Als een bezit van `0` wordt afgetrokken krijg je een schuld.
  • Als een schuld van `0` wordt afgetrokken krijg je een bezit.
  • Als een bezit of een schuld met `0` wordt vermenigvuldigd krijg je `0`.
  • Als je `0` vermenigvuldigt met `0` krijg je `0`.
  • Het product of het quotiënt van twee bezitten is een bezit.
  • Het product of het quotiënt van twee schulden is een bezit.
  • Het product of het quotiënt van een bezit en een schuld is een schuld.
  • Het product of het quotiënt van een schuld en een bezit is een schuld.
• Dat Brahmagupta probeert het rekenen uit te breiden met het delen door `0`:
  • Als je een bezit of een schuld door `0` deelt krijg je een breuk met `0` als noemer.
  • Als je `0` door een bezit of een schuld deelt krijg je `0` of je schrijft een breuk met `0` als teller.
  • `0` gedeeld door `0` is `0`.

Hoewel dit een briljante poging is om het rekenen met negatieve getallen en `0` uit te breiden, is de laatste uitspraak echt fout!

 

Brahmagupta's methode van vermenigvuldigen maakt gebruik van het tientallig stelsel, dat hem kennelijk bekend was. Het lijkt dan ook veel op de manier waarop wij tegenwoordig getallen vermenigvuldigen door "onder elkaar zetten". Brahmagupta noem zijn methode "gomutrika" ("volgens de weg van de urine van een koe"). Hier zie je hoe dat gaat bij `832 * 64`:

 

 

Soms schreef Brahmagupta de `6` en de `4` ook achter de `832` met de `4` boven en de `6` onder. Dan krijg je:

`832` `4`
`832` `6`
----------
  `3328`
`4992`
----------
`53248`

Dit lijkt al heel erg op de huidige schrijfwijze!
Brahmagupta hanteerde nog wel andere schrijfwijzen, maar werkte steeds met de cijferposities. Een enorme vooruitgang in vergelijking met de moeizame gereken met bijvoorbeeld de Romeinse cijfers waarbij geen positiestelsel werd gebruikt.

 

Verder kende Brahmagupta een manier om wortels te benaderen. Hij gebruikte daarbij een methode die tegenwoordig de 'Newton-Raphsonmethode' heet.

 

Brahmagupta bedacht enkele algebraïsche schrijfwijzen en beschrijft manieren om vergelijkingen van de vorm `ax + c = b` op te lossen. Daarbij liet hij alleen gehele getallen als oplossing toe. Niet zo vreemd natuurlijk: in die tijd waren dat eigenlijk de enige getallen die echt bestonden. Verhoudingen (breuken) van gehele getallen werden toegelaten, negatieve getallen waren al een revolutionaire uitvinding, maar aan rationale en irrationale getallen was de wereld nog helemaal niet toe...

 

Brahmagupta loste ook kwadratische vergelijkingen van de vorm `ax^2 + c = y^2` en `ax^2 - c = y^2` op.
Bijvoorbeeld de vergelijking `8x^2 + 1 = y^2` heeft bij Brahmagupta de oplossingen `(x, y) = (1, 3), (6, 17), (35, 99), (204, 577), (1189, 3363), ...`.
En de vergelijking `11x^2 + 1 = y^2` heeft bij hem als oplossingen `(x, y) = (3, 10), (161/5, 534/5), ...`
Ook lost hij de vergelijking `61x^2 + 1 = y^2` op, die `x = 226153980, y = 1766319049` als kleinste (geheeltallige) oplossing heeft.

 

Een voorbeeld van de soort problemen die hij in "Brahmasphuta siddhanta" aansnijdt is:

Vijfhonderd dramma's werden geleend tegen een onbekende rente. De rente op het bedrag over vier maanden werd aan een ander geleend tegen dezelfde rente en dit bedroeg in tien maanden tijd `78` dramma's. Bereken het rentepercentage.

Brahmagupta gaf ook regels voor het sommeren van getallenrijen.
Voor de som van de kwadraten van de eerste `n` natuurlijke getallen geeft hij de formule:

`1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2 = (n(n+1)(2n+1))/6`

En voor de som van de derde machten van de eerste `n` natuurlijke getallen geeft hij de formule:

`1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ... + n^3 = ((n(n+1))/2)^2`

Bewijzen werden er niet gegeven, dus het is onbekend hoe Brahmagupta deze formules heeft gevonden.

 

Veel in de "Brahmasphuta siddhanta" gaat over zonsverduisteringen en maansverduisteringen, het samenvallen van planetenbanen en de banen van de planeten. Brahmagupta geloofde in een stilstaande aarde en gaf de lengte van het jaar eerst als `365` dagen `6` uur `5` minuten en `19` seconden, later als `365` dagen `6` uren `12` minuten en `36` seconden.

Die laatste waarde verscheen in zijn tweede boek Khandakhadyaka. Deze tweede waarde is geen verbetering ten opzichte van de werkelijke waarde en vermoedelijk afkomstig uit het boek van Aryabhata.
Het boek "Khandakhadyaka" beslaat acht hoofdstukken en gaat over dezelfde onderwerpen als het eerste boek. Hij beschrijft er nieuwere inzichten in.
Belangrijk in wiskundig opzicht is de manier waarop hij de sinus van hoeken berekent met behulp van interpoleren en nauwkeuriger sinustabellen ontwikkelt.

 

 

 

---

Math4all