Boole

De tijd van Boole

George Boole (1815 - 1864) leefde in Engeland en Ierland in de tijd dat de oorlogen met het Frankrijk van Napoleon net afgelopen waren. De staatsschuld was daardoor torenhoog geworden en de bevolking had het derhalve niet erg breed. Het was een tijd van sociale onrust, mede ook onder invloed van de Franse revolutie. De Britse aristocratie bereidde echter na verloop van tijd onder aanvoering van Earl Grey hervormingen voor die in 1832 leidden tot de aanname van een "Reform Bill" die vooral de middenklassen toegang gaf tot het democratisch bestel. Dit was het begin van verdere hervormingen.
Verder is deze periode het begin van de Industriële Revolutie, het ontstaan van fabrieken en serieproductie. Dit bevorderde de economische ontwikkeling van het Britse koninkrijk dat vanaf 1837 onder leiding stond van koningin Victoria. Dit betekende het begin van het zogenaamde Victoriaanse tijdperk.

 

 

 

Over Boole

George Boole werd geboren op 2 november 1815 in Lincoln (in Lincolnshire, Engeland). Hij ging naar de basisschool in Lincoln en doorliep daar vervolgens een handelsschool. Van zijn vader kreeg hij zijn eerste lessen in wiskunde. George's interesse lag echter bij de talen en van een plaatselijke boekhandelaar leerde hij Latijn. Al op twaalfjarige leeftijd was hij zo goed in Latijn dat een plaatselijke onderwijzer niet geloofde dat zijn vertaling van een lofdicht van Horatius door een twaalfjarige was geschreven.
George Boole kreeg geen verdere opleiding, vanaf ongeveer 16 jaar werd hij assistent onderwijzer. Hij heeft overwogen om in de kerk in te treden, maar later heeft hij kennelijk zijn mening gewijzigd, want in 1835 opende hij een eigen school. Hij begon toen op eigen houtje wiskunde te studeren. Boole bestudeerde in die tijd op de werken van bekende Franse wiskundigen als Laplace en Lagrange. Een kennis van Boole was Duncan Gregory de uitgever van de Cambridge Mathematical Journal. Deze moedigde hem aan en adviseerde Boole om in Cambridge wiskunde te gaan studeren. Maar dat was voor Gerge Boole onmogelijk: om te kunnen leven had hij het inkomen nodig dat hij verkreeg door als onderwijzer lessen te geven op zijn school. Maar hij begon wel zijn wiskundige inzichten te publiceren in de Cambridge Mathematical Journal. Langzamerhand werd zijn werk dan ook bekend. Mede onder invloed van Duncan Gregory legde Boole zich vooral toe op de algebra.
Een toepassing van algebraïsche methoden bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen werd zelfs gepubliceerd in de "Verhandelingen" van de Britse Royal Society. Boole kreeg er een onderscheiding van de Royal Society voor. Langzamerhand begon zijn wiskundige werk hem beroemd te maken.

In 1849 kreeg George Boole de leerstoel voor wiskunde aan het Queen's College in Cork. Daar heeft hij voor de rest van zijn leven les gegeven, waarbij hij een echte reputatie als toegewijde leraar opbouwde.

In 1854 publiceerde hij zijn boek "An investigation into the Laws of Thought, on Which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities". Daarin benaderde hij de logica op een volstrekt algebraïsche wijze. Hij formuleerde de Booleaanse algebra, een algebra van eenvoudige logische verbanden die zijn belangrijke toepassing in de huidige computerprogrammeertalen vindt: het "en" en "of" vertaald in algebraïsche regels. Vooral deze Booleaanse algebra is in het huidige computertijdperk van heel groot belang gebleken. Het vormt de basis van alle computerhardware in die zin dat de onderliggende schakelingen zijn opgebouwd volgens Booleaanse algebra.

Boole werkte ook verder aan het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Hij schreef de invloedrijke verhandeling "Treatise on Differential Equations" die verscheen in 1859. Hij schreef een rekenmethode voor differenties (eindige verschillen) in 1860 en daarna een verhandeling over de waarschijnlijkheidsleer. Uiteindelijk publiceerde George Boole ongeveer 50 geschriften. Hij is één van de eersten geweest die de eigenschappen van getallen (zoals de distributieve eigenschap en de associatieve eigenschap) bestudeerde.

Op het moment dat zijn genie werd ontdekt kreeg Boole diverse eervolle vermeldingen, onder andere van de universiteiten van Dublin en Oxford. Hij werd in 1857 gekozen tot Fellow of the Royal Society. Op het hoogtepunt van zijn roem stierf Boole echter op 49-jarige leeftijd aan longontsteking op 8 december 1864 in Ballintemple, graafschap Cork, Ierland.

 

 

 

De Booleaanse algebra

Al sinds de Oudheid probeerden filosofen en wiskundigen grip te krijgen op de structuur van het menselijk denken. Grote Griekse filosofen als Socrates en Aristoteles, maar ook Chinese en Arabische wetenschappers poogden om formele regels op te stellen voor het redeneren. Deze tak van de wetenschap heet de logica. En de logica kende door de eeuwen heen vele beoefenaren.

De Duitse wiskundige Leibniz was één van de eersten die een soort van algebraïsche opzet voor de logica beproefde. Hij probeerde bewerkingen te verzinnen die geldig moesten zijn buiten de rekenkunde en het rekenen met wiskundige objecten. Op zijn probeersels werd door anderen wel voortgeborduurd, maar veel vruchten heeft dit niet afgeworpen.

Boole ging anders te werk.
Hij herkende in de rekenkunde een aantal wetmatigheden en breidde hun betekenis tot buiten de rekenkunde uit. Voor elke $x$, $y$ en $z$ zette Boole deze basisregels neer:

 

1. $x\cdot y=y\cdot x$
2. $x+y=y+x$
3. $x\cdot \left(y+z\right)=x\cdot y+x\cdot z$
4. $x\cdot \left(y-z\right)=x\cdot y-x\cdot z$
5. als $x=y$, dan is $x\cdot z=y\cdot z$
6. als $x=y$, dan is $x+z=y+z$
7. als $x=y$, dan is $x-z=y-z$
8. $x\cdot \left(1-x\right)=0$

 

Behalve de laatste formule, kun je deze basisregels eenvoudig toepassen op het rekenen.
En als je voor $x$, $y$ en $z$ alleen de waarden $0$ en $1$ toelaat, dan vormen deze basisregels een compleet systeem voor het rekenen met die getallen. Ga zelf maar na!

 

Maar de betekenis van deze basisregels ging verder volgens Boole. Hij beweerde dat ze een compleet systeem vormden voor het rekenen met wat we tegenwoordig "verzamelingen" noemen.
Je moet dan onder $x$, $y$ en $z$ verzamelingen van objecten (bijvoorbeeld getallen) verstaan.
De betekenis van $x\cdot y$ is dan: $x+y$ zijn de objecten die beide verzamelingen $x$ en $y$ gemeenschappelijk hebben (de doorsnede van beide).
De betekenis van $x+y$ is dan: $x+y$ zijn de objecten in beide verzamelingen $x$ en $y$ tezamen (de vereniging van beide).
De betekenis van $x-y$ is dan: $x-y$ zijn de objecten die wel in $x$ maar niet in $y$ voorkomen.
$1$ is de universele verzameling, waar alle objecten in zitten en $0$ is de lege verzameling waar geen enkel object in zit.
Ga ook bij deze interpretatie na dat de basisregels nu gelden!

 

Een derde toepassing is te vinden in de logica van volzinnen die een bepaalde betekenis hebben. Een volzin zoals "Dit is een pagina van een website" noem je een propositie. Boole's regels kunnen ook worden toegepast in de propostielogica, het redeneren met dergelijke proposities.
Je moet dan onder $x$, $y$ en $z$ proposities verstaan.
$x+y$ is dan: $x$ en $y$ .
$x+y$ is dan: $x$ of $y$ (maar niet beide, het exclusieve of).
$-x$ is dan: niet $x$ .
Het is-gelijk-teken betekent nu dat twee proposities identiek zijn, dezelfde betekenis hebben.
$1$ is een ware propositie en $0$ is een onware propositie.
Ga ook bij deze interpretatie na dat de basisregels nu gelden! Je kunt in dit geval zelfs nog een basisregel toevoegen:

 

9. er geldt altijd: $x=1$ of $x=0$.

 

Deze Booleaanse algebra, vooral de laatste interpretatie is van heel groot belang bij de opzet van de moderne computer. Dat komt omdat computerprogramma's bestaan uit eenvoudige "statements" (proposities) die waar of onwaar zijn en dan via de regels van de Booleaanse algebra kunnen worden gecombineerd.
Diverse wiskundigen hebben het systeem later verder ontwikkeld.

 

 

 

---

Math4all