Aryabhata

Wiskunde in de vroege Indiase beschaving

De Indiase beschaving ontstond ongeveer in dezelfde periode als de Egyptische en de Mesopotamische beschavingen: zo'n 4000 a 5000 jaar geleden. Ook hier speelden grote rivieren (en dus vruchtbaar landschap) een belangrijke rol. In dit geval waren dat de Indus en de Ganges. Ongeveer zo'n 2500 - 1500 jaar v.Chr. kwamen daar de steden Harappa en Mohenjo-daro (beide in de Indusvallei) tot grote bloei. Toen al ontstond er (net als in Egypte en Mesopotamië) de behoefte tot een bruikbaar schrift, een systeem voor getallen, de eerste rekenmethoden. Een eerste systeem van maten en gewichten, gebaseerd op de Indus inch (ongeveer `3,35` cm).

Tussen 1500 en 800 v.Chr. werd deze beschaving langzamerhand(?) verdrongen door de Indo-Arische beschaving vanuit het Noord-Westen. Hiermee kwamen de oudste bewaard gebleven geschriften in het Sanskriet de Indiase cultuur binnen in de vorm van de Veda's, bestaande uit hymnen, spreuken, rituelen, en dergelijke. Dit werden uiteindelijk voorschriften voor de praktijk van de Vedische religie. Aan die Veda's werden regels toegevoegd voor het construeren van altaren, waarin een behoorlijke hoeveelheid meetkundige kennis zat opgesloten die alleen voor religieuze doeleinden was ontwikkeld. Dit waren de Sulbasutra's.

Omstreeks 300 v.Chr. begon de Vedische godsdienst (met zijn offerrites) langzaam te verwateren en kwamen er andere religies voor in de plaats. In die periode verschenen ook de eerste Brahmi cijfers die zich later zouden ontwikkelen tot ons moderne cijferschrift.

 

 

Ook het positiestelsel voor het noteren van getallen begon vanaf dat moment zijn intrede te doen in de Indiase beschaving, hoewel het nog heel lang zou duren voordat dit gemeengoed werd. Eén van de godsdiensten die zo rond 500 v.Chr. begon te ontstaan is het Jaïnisme, waarvan de volgelingen Jaina werden genoemd. De Jaina ontwikkelden vanuit hun religieuze en filosofische achtergrond een brede wiskundige kennis. Rond 150 v.Chr. hielden zij zich al bezig met: getallentheorie, rekenkundige bewerkingen, vlakke meetkunde, operaties met breuken, eenvoudige vergelijkingen (ook kwadratisch en soms met derde en vierde machten) en met permutaties en combinaties (manieren om verwisselingen te tellen). Men ontwikkelde zelfs een theorie over het oneindige en zelfs bestond er iets als logaritmen met grondtal `2`.
De Jaina waren vooral geïnteresseerd in sterrenkunde en astrologie, hun belangrijkste drijfveer om verder te studeren in de wiskunde. De wiskunde was alleen bedoeld om van praktisch nut te zijn bij het oplossen van bepaalde problemen die daarbij opdoemden. Men begon ook Griekse wiskundige teksten te vertalen, bijvoorbeeld werd in 200 na Chr. een Griekse astrologie-tekst uit 120 v.Chr. bewerkt naar het Indiase gedachtegoed.

Omstreeks 500 na Chr. begon de bloeiperiode van de Indiase beschaving met het werk van Aryabhata. Deze vatte hoofdzakelijk alle voorgaande Jaina wiskundige teksten samen in zijn Aryabhatiya. Maar het gaf een impuls tot verdere studie in de wiskunde en de sterrenkunde binnen de Indiase beschaving, die later ook werd doorgegeven aan de Arabische Islamitische cultuur en zo bijdroeg aan de heropleving van de wiskunde in West-Europa zo'n 1000 jaar later.

 

 

 

Aryabhata's werk

Aryabhata (de eerste van twee Indiase wiskundigen met die naam) heeft diverse teksten over wiskunde en sterrenkunde geschreven. Er is er echter maar één bewaard gebleven, de Aryabhatiya.

Aryabhata was 23 jaar toen hij de "Aryabhatiya" in 499 afmaakte. Het gaat daarbij om een boekje over astronomie dat in 118 verzen (sutra's) een samenvatting geeft van kennis van de Hindoes op het gebied van sterrenkunde en wiskunde. In de 33 wiskundige verzen werden 66 stellingen gegeven zonder een spoor van een bewijs. Verder kwamen er verzen in voor over tijdrekening en modellen van het planetenstelsel.
Het zijn allemaal typisch voorbeelden van de zaken die in de voorgaande eeuwen voor de op religie gestoelde machthebbers en wetenschapsbeoefenaren interessant waren. Aryabhata was hoofd van het onderzoekscentrum voor wiskunde en astronomie in Kusumapura. Daar ontstond een school van volgelingen die zijn gedachtegoed verder uitwerkten en nog jarenlang de agenda voor wiskundig en sterrenkundig onderzoek in India bepaalden.
Het wiskundige gedeelte van de "Aryabhatiya" ging over het systeem van getallen noteren, rekenkunde, algebra, vlakke meetkunde en bolmeetkunde. Belangrijk was het gebruik van een positiestelsel voor het noteren van getallen. Het boek bevatte sinustabellen voor de goniometrie, er werd gewerkt met machtreeksen en met kwadratische vergelijkingen. Aryabatha kende een heel nauwkeurige benadering (tot op `8` decimalen) van `pi` en kende formules voor de oppervlakte van de cirkel en de driehoek. Zijn formules voor de inhoud van de piramide en de bol zijn waarschijnlijk fout geweest. Ook kende hij formules voor de som van de eerste `n` getallen, van de som van hun kwadraten en van de som van hun derde machten.
In de "Aryabhatiya" staat verder een systematische behandeling van de posities van de planeten. Aryabhata beweerde dat de draaiing van de hemel een gevolg was van de draaiing van de aarde om zijn as (iets wat later door commentatoren werd verworpen!!). Verder staan er behoorlijk nauwkeurige benaderingen van de straal van de aarde en de straal van de banen van de planeten om de zon. Hij geloofde dat de maan en de planeten zichtbaar waren als gevolg van het weerkaatsen van zonlicht en geeft een correcte verklaring voor zons- en maansverduisteringen. Allemaal behoorlijk modern in vergelijking met het gestuntel in West-Europa in die tijd als gevolg van het wereldbeeld van Ptolemaios (waarin alle planeten en de zon en de maan om de aarde draaiden).

Het wiskundige deel van de "Aryabhatiya" gaat over:

 

Rekenkunde

Aryabhata bedacht het volgende positiestelsel voor getallen: elk van de 33 medeklinkers van het Indiase alfabet kreeg als waarde toegewezen `1`, `2`, `3`, ... , `25`, `30`, `40`, `50`, `60`, `70`, `80`, `90`, `100`. Om getallen als 1000, 10000, etc., te kunnen maken werd aan de medeklinker een klinker toegevoegd. In principe konden getallen tot en met `10^18` op deze wijze worden gemaakt.
Het is overigens waarschijnlijk dat Aryabhata de Brahmi-cijfers `1`, `2`, `3`, t/m `9` en ook het symbool voor `0` wel heeft gekend. Maar als cijfers waarmee getallen in een positiestelsel kunnen worden opgeschreven waren deze symbolen nog niet algemeen in gebruik, dat kwam pas zo'n 100 tot 200 jaar later.

 

Algebra

Dit boekje is het eerst bekende werk waarin gehele oplossingen worden gezocht van vergelijkingen die wij nu noteren als `by = ax + c` en `by = ax - c`, waarin `a`, `b`, `c` gehele getallen zijn. Deze vergelijkingen ontstonden bij het berekenen van de omwentelingstijd van de planeten. Aryabhata gebruikt de 'kuttaka' methode om dit soort stelsels vergelijkingen op te lossen. Deze methode bestond er uit om met behulp van het algoritme van Euclides de grootste gemene deler te vinden van `a` en `b`.
Verder gaf Aryabhata regels voor het optellen van de eerste `n` gehele getallen, de eerste `n` kwadraten en de eerste `n` derde machten.

 

Trigonometrie (driehoeksmeetkunde)

Aryabhata meldde dat als je `4` bij `100` optelt, dan het resultaat met `8` vermenigvuldigt en er vervolgens `6200` bij optelt, je de omtrek krijgt van een cirkel met diameter `20000`. De benadering van `pi` die je zo vindt is ongeveer `3,1416`, nogal nauwkeurig voor die tijd. Hoe Aryabhata dit heeft gevonden vermeldt hij niet. Toch is het waarschijnlijk dat hij niet de Griekse uitputtingsmethode (zie bij Eudoxus) heeft gebruikt, maar zelf een methode heeft verzonnen. Hij begreep ook dat `pi` een irrationaal getal was.
Hij gaf in de Aryabhata ook tabellen van de sinus van hoeken van `0` tot `90` graden en wel om de `90/24 = 3,75` graden. Hij gebruikt daarbij een (recursieve) formule voor `sin((n+1)x) - sin(nx)`.
Tenslotte geeft Aryabhata formules voor de oppervlakte van een driehoek en voor de oppervlakte van een cirkel. (Dit waren uiteraard geen formules zoals we die tegenwoordig kennen, maar omschrijvingen in woorden van hoe zoiets kon worden uitgerekend.)

 

Ruimtemeetkunde

De formules voor de inhoud van bol en piramide zijn waarschijnlijk fout (of foutief vertaald door mensen die deze teksten hebben omgezet naar het Arabisch en andere talen). Hierbij gaat het om de verzen 6, 7 en 10, waarin het er op lijkt, dat Aryabhata zelf incorrecte formules gaf.

 

De wiskundige inhoud van de Aryabhatiya is eigenlijk een bijproduct van de hoofdzaak: een astronomische tekst. Daarin geeft Aryabhata een systematische beschrijving van de posities van de planeten in de ruimte. Verder geeft hij een hele goede benadering voor de omtrek van de aarde en beweert hij dat de ogenschijnlijke draaiing van de hemel een gevolg is van het draaien van de aarde om zijn as. Dit was een zo gewaagde uitspraak in die tijd dat veel latere astronomen er niet in geloofden.
Ook geeft Aryabhata de straal van de planetenbanen om de zon uitgedrukt in de afstand tuzzen de zon en de aarde. Hij gelooft dat de maan en de planeten alleen zichtbaar zijn omdat ze zonlicht weerkaatsen en spreekt al van ellipsen als de vorm van de baan der planeten. Hij legt op correcte wijze uit hoe maansverduisteringen en zonsverduisteringen ontstaan en dit in tegenstelling tot het toenmalige geloof in India dat deze werden veroorzaakt door de demon Rahu.
Aryabhata's schatting van de lengte van een jaar op `365` dagen, `6` uur, `12` minuten en `30` seconden is wat aan de grote kant, want de werkelijke jaarlengte is net iets onder de `365` dagen en `6` uur.

Jaren lang bepaalde het werk van Aryabhata het wetenschappelijk leven in India in die tijd. Bijvoorbeeld schreef én van zijn commentatoren (Bhaskara) 100 jaar later:
"Aryabhata is de meester die, na het bereiken van de verste oevers en het duiken in de diepste zeeën van de ultieme kennis der wiskunde, kinematica en astronomie, deze drie wetenschappen naliet aan de geleerde wereld."

 

 

 

---

Math4all