Archimedes

Syracuse en het begin van het Romeinse Rijk

Syracuse werd gesticht in 734 v.Chr. door Grieken vanuit Corinthië. De stad groeide uit tot de belangrijkste stad op Sicilië.
Na de dood van Alexander de Grote (322 v.Chr.) begon het Griekse Rijk uiteen te vallen en werden steden als Carthago en Rome steeds machtiger. Eerst werd Carthago een grootmacht vooral in Noordelijk Afrika en Spanje. Later wilde ook Rome zijn macht uitbreiden buiten het vasteland van Italië en kwam natuurlijk met Carthago in conflict.

Het resultaat was een tweetal oorlogen, de Punische Oorlogen, waarin enerzijds de Carthaagse veldheren Hasdrubal en Hannibal een grote rol speelden en aan de Romeinse zijde de senaat haar kalmte bewaarde en een vloot in het leven riep die in 241 een Carthaagse vloot versloeg. Daardoor konden de Carthagers de troepen in Sicilië niet langer bevoorraden en viel dit eiland (met uitzondering van het gebied van koning Hieroon die met de Romeinen meewerkte) in Romeinse handen.

Jarenlang bleven Rome en Carthago met elkaar concurreren en af en toe vochten ze veldslagen uit. In 219 trok Hannibal de Alpen over en Italië in en bedreigde Rome. Tegelijk ging Pilippus V van Macedonië met Carthago meestrijden. Na de dood van koning Hieroon keerde ook Syracuse zich van Rome af, evenals de stad Capua vlak onder Rome (waar men hoopte een nieuwe hoofdstad van Italië te kunnen worden). Maar de kansen keerden zich ten gunste van de Romeinen omdat Hannibal te lange en onbetrouwbare aanvoerlijnen had, de Carthaagse vloot geen rol van betekenis kon spelen en de Romeinse bondgenoten op Italië's vasteland trouw bleven. Uiteindelijk vielen Capua en Syracuse in Romeinse handen en werden zijn hulptroepen vanuit Spanje verslagen door de Romeinen. De Romeinse veldheer Scipio deed de rest: eerst werden de Carthaagse troepen in Spanje beslissend verslagen, later stak hij over naar Noord Afrika en versloeg daar Hannibal (die naar Carthago was teruggeroepen).

 

270 - 215 v.Chr.: Regering van Hieroon II van Syracuse.
264 - 238 v.Chr.: De Eerste Punische Oorlog.
211 v.Chr.: De verovering van Syracuse door de Romeinen.
219 - 201 v.Chr.: De Tweede Punische Oorlog.

 

 

 

Over Archimedes

Archimedes is geboren in 287 v.Chr. in Syracuse op Sicilië. Zijn vader was de astronoom Phidias. Archimedes heeft zijn hele leven in Syracuse gewoond, hoewel sommige geschiedschrijvers beweren dat hij Egypte heeft bezocht en daar zijn beroemde schroef van Archimedes (een waterpomp) heeft uitgevonden. Hij was wellicht familie van de tiran (koning) van Syracuse, Hieroon II, in ieder geval was hij een bekende van de koninklijke familie.

Het is zeer waarschijnlijk dat Archimedes in Alexandrië (in Egypte) bij opvolgers van Euklides wiskunde heeft gestudeerd. Niet alleen was hij volledig op de hoogte van de wiskunde die daar werd ontwikkeld, ook kende hij enkele van de wiskundigen daar persoonlijk. Bijvoorbeeld beschouwde hij de wiskundige Conon van Samos die daar werkte als een goede vriend.
In het voorwoord van zijn boek 'Over spiralen' vertelt Archimedes dat hij gewoon was zijn vrienden in Alexandrië zijn nieuwste stellingen op te sturen, maar zonder er het bewijs bij te leveren. Toen sommigen van hen net deden of ze zelf die stellingen hadden gevonden, stuurde Archimedes bewust een paar foute 'stellingen' op om ze aan de kaak te stellen.

In zijn tijd lijkt Archimedes een grote reputatie te hebben opgebouwd, groter dan andere wiskundigen in die periode. Dat kwam niet zozeer tot zijn wiskundige ideeën, maar meer door het feit dat hij een aantal uitvindingen op zijn naam had staan. Hij bedacht bijvoorbeeld een paar effectieve oorlogsmachines voor Hieroon II ter verdediging van Syracuse tegen de Romeinen onder aanvoering van Marcellus. De beroemde Romeinse geschiedschrijver Plutarchus bericht er over in zijn verslag van het beleg van Syracuse in 212 v.Chr. Archimedes' machines berustten grotendeels op het hefboomprincipe waarmee slechts een kleine kracht nodig is om een groot gewicht te verplaatsen. Een uitspraak van Archimedes: "Geef mij een plaats om te staan en in zal de aarde bewegen."

Hoewel Archimedes veel roem oogstte met zijn machines vond hij dat zuivere wiskunde de enige wetenschap was die de moeite van het bestuderen waard was. Hij was vooral gefascineerd door de meetkunde, zelfs zo erg dat hij ook tijdens gewone dagelijkse bezigheden als eten, in bad gaan en dergelijke voortdurend geometrische figuren tekende en bestudeerde.

Archimedes wordt door veel geschiedkundigen gezien als én der grootste wiskundigen van alle tijden. Hij bedacht onder andere:

• de oppervlakte en de inhoud van allerlei vlakke en ruimtelijke figuren (zoals de cirkel, het paraboolsegment, de cilinder, de paraboloïde, de kegel en de bol), waarbij hij de uitputtingsmethode van Eudoxus gebruikte:
  deze bewijsmethode wordt wel beschouwd als voorloper van het 'integreren' dat wij tegenwoordig systematisch toepassen, de Oude Grieken pasten deze methode alleen toe in bewijzen om voor specifieke objecten het oppervlakte en de inhoud te kunnen vaststellen, een algemene berekenmethode werd het uiteindelijk niet.
• Een methode om wortels nauwkeurig te benaderen.
• Een systeem voor het uitdrukken van grote getallen.
• De Archimedische spiraal, zie hiernaast.

 

Ook op het gebied van de natuurkunde liet Archimedes zich niet onbetuigd. Hij ontdekte verschillende stellingen over het zwaartepunt van vlakke figuren en van lichamen. Maar vooral werd hij bekend door zijn beroemde wet van Archimedes:

Een lichaam geheel of gedeeltelijk in een vloeistof ondergedompeld ondervindt daarin een opwaartse kracht die gelijk is aan het gewicht van de verplaatste vloeistof.

Archimedes werd in 212 v.Chr. gedood tijdens de verovering van Syracuse door de Romeinen in de Tweede Punische Oorlog. Ook zijn machines vermochten de Romeinen niet te stoppen. Over zijn dood gaan verschillende verhalen. In én daarvan was Archimedes zo druk bezig met meetkundige berekeningen en constructies dat hij de bedoelingen van de Romeinse soldaat die hem wilde gevangennemen niet in de gaten had en hem ongeduldig toeriep om 'zijn cirkels niet te verstoren'. Waarop de soldaat hem in woede doorstak en doodde.
Omdat Archimedes zelf het meeste waarde hechtte aan zijn berekeningen betreffende een cilinder die een bol omhult, wilde hij een afbeelding daarvan met de verhouding van beider inhouden op zijn graf.

 

 

 

Geschriften van Archimedes

Van Archimedes zijn de volgende werken bewaard gebleven:

• "Over evenwicht in het platte vlak".
  Hierin liet Archimedes een aantal fundamentele stellingen over zwaartepunten van vlakke figuren zien. Hij bepaalde in het eerste boek het zwaartepunt van een parallellogram, een driehoek en een trapezium. Het tweede boek gaat over het zwaartepunt van een deel van een parabool.
• "De kwadratuur van de parabool."
  Archimedes berekent hierin de oppervlakte tussen een parabool en een koorde in die parabool.
• "Over de bol en de cilinder."
  In het eerste boek laat Archimedes zien dat de oppervlakte van een bol vier keer de omtrek van een grootcirkel op die bol is, bepaalt hij de oppervlakte van een bolsegment en laat hij zien dat de inhoud van een bol `2/3` is van de inhoud van de omhullende cilinder. In het tweede boek wordt getoond hoe een bol door een plat vlak in twee delen met een vooraf gegeven verhouding kan worden verdeeld. Bij deze berekeningen gebruikte Archmedes de uitputtingsmethode van Eudoxus.
• "Over spiralen."
  In dit boek wordt de Archimedische spiraal gedefinieerd en eigenschappen ervan besproken.
• "Over conoïden en sferoïden."
  Hierin gaat het om omwentelingslichamen als paraboloïden, hyperboloïden en ellipsoïden. Het gaat daarbij om het onderzoek naar de inhoud van omwentelingslichamen en delen ervan.
• "Over drijvende lichamen."
  Het boek over de principes van de hydrostatica, met de beroemde 'wet van Archimedes'.
• "Het opmeten van de cirkel."
  Archimedes laat in dit geschrift zien, dat de exacte waarde van de omtrek van een cirkel met diameter `1` ligt tussen de `223/71` en de `22/7`. Hij vindt dit resultaat door de cirkel in te sluiten tussen regelmatige veelhoeken met `96` zijden.
• "De zandrekenaar."
  Een opmerkelijk boek waarin Archimedes een systeem voor getallen voorstelt waarmee getallen tot `8 * 10^(16)` kunnen worden beschreven. Hij beweert dat dit getal groot genoeg is om alle zandkorrels in het heelal te tellen. In dit boek legt Archmedes ook het idee van Aristarchus uit, dat de zon in het centrum van het heelal staat en de planeten (waarvan de aarde er én is) om de zon draaien. Hij noemt ook afstanden in het heelal, zoals die afkomstig zijn van Eudoxus, Phidias (zijn vader) en Aristarchus.
• "De methode."
  Hierin beschrijft Archimedes hoe hij tot veel van zijn resultaten is gekomen. Hij vindt dat het nuttig is om eerst door onderzoeken en experimenteren op vermoedens te komen en die dan met meetkundige methoden te bewijzen.

 

Er hebben zeer waarschijnlijk ook andere werken van de hand van Archimedes bestaan. Sommige later wetenschappers verwijzen er naar.

Duidelijk is dat Archimedes' werken buitengewoon helder van uitleg waren en daarom hele mooie voorbeelden van wiskundige methoden. Toch waren die werken ook na zijn dood maar weinig bekend. Alleen drie beroemde wiskundigen Heroon (leefde tussen 100 v.Chr. en 100 na Chr.), Pappos en Theoon (beiden eind 4de eeuw na Chr.) uit Alexandrië hebben deze werken veel aangehaald, maar verder duurde het tot de 6de eeuw na Chr. voordat Eutocius enkele van die werken (met commentaren) weer tot leven wekte. Voor onze moderne wiskunde zijn ze alleen door soms onvolledige vertalingen en bewerkingen bewaard gebleven.

 

 

 

---

Math4all