Analytische meetkunde

Punten

Descartes beschreef als eerste het `Oxy`-assenstelsel waarin beide assen dezelfde lineaire schaalverdeling hebben. Daarin is de positie van elk punt vast te leggen door de coördinaten ervan `(x, y)`. De oorsprong is het punt `O(0, 0)`.
Gegeven de punten `A(x_A, y_A)` en `B(x_B, y_B)`, dan is hun midden `M` te berekenen: `M(x_M, y_M) = M((x_A + x_B)/2, (y_A + y_B)/2)`.

De afstand van een punt `A` tot de oorsprong bereken je met de stelling van Pythagoras en je vindt: `text(d)(A, O) = sqrt(x_A^2 + y_A^2)`.
De afstand tussen `A` en `B` is `text(d)(A, B) = sqrt((x_A-x_B)^2 + (y_A-y_B)^2)`.

 

 

 

Lijnen

De algemene vergelijking van een lijn is `ax+by=c`, waarbij `a` en `b` niet beide gelijk zijn aan nul.
Als `a=0`, dan wordt de vergelijking `y=c/b` en dit stelt een horizontale lijn voor.
Als `b=0`, dan wordt de vergelijking `x=c/a` en dit stelt een verticale lijn voor.
Als `b!=0`, dan is de vergelijking te herschrijven als `y=text(-)a/b x + c/b`.
Hieruit blijkt:

de richtingscoëfficiënt (rc) van lijn `ax+by=c` is gelijk aan `text(-) a/b`.

Laat nu twee lijnen `m: ax+by=c` en `n: px+qy=r` gegeven zijn.
Neem eerst aan dat beide lijnen niet verticaal zijn. De lijnen en zijn precies dan evenwijdig of samenvallend als ze dezelfde rc hebben, dus als `text(-)a/b = text(-)p/q` en dit is gelijkwaardig met `aq-bp=0`.
Stel nu dat bijvoorbeeld lijn `m` verticaal is, dus `b=0`. In dit geval zijn de lijnen en evenwijdig of samenvallend als lijn `n` ook verticaal is, dus als `q=0`. Er is dan voldaan aan `aq-bp=0`.
En omgekeerd als aan `aq-bp=0` voldaan is, dan volgt wegens `b=0` dat `aq=0`, dus `q=0` (omdat `a!=0`). Hiermee is aangetoond:

de twee lijnen `m: ax+by=c` en `n: px+qy=r` zijn precies dan evenwijdig of samenvallend als `aq-bp=0` .

De voorwaarde `aq-bp=0`, ofwel `aq=bp`, in de laatste eigenschap is te herleiden tot een andere vorm.
Stel dat aan deze voorwaarde voldaan is. Als `a!=0` dan noem je `p/a=k`, zodat `p=ka`.
Dit ingevuld in geeft `aq=bka`, dus `q=ka `(omdat `a!=0`).
Als `a=0` (dus `b!=0`), dan `bp=0`, dus `p=0`.
Stel je dan `a/b=k`, dan is voldaan aan `p=ka` en `q=kb`.
Er moet gelden `k!=0`, omdat anders `p=q=0` en dit is onmogelijk.
Omgekeerd volgt uit de betrekkingen `p=ka` en `q=kb` dat `aq-bp = akb-bka=0`. Dus:
de twee lijnen `m: ax+by=c` en `n: px+qy=r` zijn precies dan evenwijdig of samenvallend als er een getal `k!=0` bestaat zo dat `p=ka` en `q=kb`.

Indien behalve aan `p=ka` en `q=kb` ook aan `r=kc` is voldaan, dan is de vergelijking van `n: px+qy=r` te schrijven als `kax+kby=kc`, dus na delen door `k` als `ax+by=c` en dit is precies de vergelijking van `m`. In dit geval zijn de lijnen `m` en `n` samenvallende lijnen.
Stel nu dat voldaan is aan `p=ka` en `q=kb` maar `r!=kc`.
Noem `c'=r/k`, dan `c' !=c`. De vergelijking van `n: px+qy=r` wordt `kax+kby=kc'`, dus na delen door `k`: `ax+by=c'`. Voor geen enkele waarden van `x` en `y` kan gelijktijdig aan `ax+by=c` en `ax+by=c'` zijn voldaan, dus de lijnen `m` en `n` zijn evenwijdig.
Conclusie:

de twee lijnen `m: ax+by=c` en `n: px+qy=r` zijn precies dan evenwijdig als er een getal `k!=0` bestaat zo dat `p=ka`, `q=kb` en `r!=kc`; de twee lijnen `m: ax+by=c` en `n: px+qy=r` zijn precies dan samenvallend als er een getal `k!=0` bestaat zo dat `p=ka`, `q=kb` en `r=kc`.

 

 

 

Vectoren

Een vector in het platte vlak is een gericht lijnstuk (een pijl) met een beginpunt en een eindpunt. Als het beginpunt `A(x_A, y_A)` en het eindpunt `B(x_B,y_B)` is, dan is de vector van `A` naar `B`:
`vec(AB) = ((x_B-x_A),(y_B-y_A))`.
De twee getallen `x_B-x_A` en `y_B-y_A` heten de kentallen van vector .

Hierbij kan `x_B-x_A` en/of `y_B-y_A` negatief zijn.
De kentallen geven de coördinaatveranderingen van `A` naar `B` aan.
Als bijvoorbeeld de punten `A(text(-)2, 3)`, `B(5, 1)`, `C(2, 5)` en `D(9, 3)` gegeven zijn, dan `vec(AB) = vec(CD) = ((7),(text(-)2))`.

De grootte en richting van een vector liggen vast als de kentallen bekend zijn, maar de plaats kan variëren! De vector met de oorsprong `O(0, 0)` als beginpunt en `A(x_A, y_A)` als eindpunt is `vec(OA)=((x_A-0),(y_A-0))=((x_A),(y_A))`; deze wordt vaak genoteerd als `vec(a)`.
De lijn door `O` en `A` wordt de drager van `vec(a)` genoemd.
De nulvector is de vector `vec(0)=((0),(0))`.
De tegengestelde van vector `vec(a)` is de vector die even groot is als `vec(a)` maar tegengesteld gericht is aan `vec(a)`.
Deze wordt genoteerd als `text(-)vec(a)`. Als `vec(a)=((a_1),(a_2))`, dan `text(-)vec(a)=((text(-)a_1),(text(-)a_2))`.
Als `vec(a)=((a_1),(a_2))` en `k` een getal dan is `k vec(a)=((ka_1),(ka_2))`, dus vector `vec(a)` wordt met factor `k` vemenigvuldigd. Als `k gt 0`, dan heeft `k vec(a)` dezelfde richting als `vec(a)`; als `k lt 0`, dan is de richting van `k vec(a)` tegengesteld aan die van `vec(a)`.
De lengte van vector `vec(a)=((a_1),(a_2))` is gelijk aan `sqrt(a_1^2 + a_2^2)` en wordt genoteerd als `|vec(a)|`.

Vectoren kun je bij elkaar optellen en van elkaar aftrekken.
Als `vec(a)=((a_1),(a_2))` en `vec(b)=((b_1),(b_2))`, dan is `vec(a)+vec(b)=((a_1 + b_1),(a_2 + b_2))` en `vec(a)-vec(b)=((a_1 - b_1),(a_2 - b_2))`.
Optelling en aftrekking van vectoren hebben een meetkundige betekenis, zie de figuur hieronder.

Een lijn `m` is ook met behulp van vectoren te beschrijven.
Neem een willekeurig punt `S` op `m`. De vector `vec(OS)` heet een steunvector van de lijn. Een vector waarvan de drager evenwijdig is aan `m` heet een richtingsvector van `m`. Stel nu dat van lijn `m` een steunvector `vec(s)=((s_1),(s_2))` en een richtingsvector `vec(r)=((r_1),(r_2))` gegeven zijn. Dan wordt de vectorvoorstelling van de lijn gegeven door

`m: ((x),(y)) = ((s_1),(s_2)) + lambda*((r_1),(r_2))`

Hierbij is `vec(OP)=((x),(y))` de vector met de oorsprong als beginpunt en een variabel punt `P(x, y)` op de lijn als eindpunt. De vectorvoorstelling van `m` is ook componentsgewijs uit te schrijven: `{(x=s_1+lambda r_1),(y=s_2 + lambda r_2):}`. Dit noem je een parametervoorstelling van `m`.
Zie de volgende figuur.

De vectorvoorstelling van een lijn `m` is zeker niet uniek. Voor de steunvector `vec(s)` kan elke vector genomen worden met als beginpunt `O` en als eindpunt een willekeurig punt op lijn `m`. De richtingsvector `vec(r)` kan vervangen worden door `k*vec(r)`, waarbij `r` een willekeurig getal ongelijk `0` is. Je kiest bij voorkeur (indien mogelijk) een steunvector en een richtingsvector met gehele en relatief kleine kentallen.
Een vectorvoorstelling van de lijn `m` door de punten `A(x_A, y_A)` en `B(x_B, y_B)` is:

`m: ((x),(y)) = ((x_A),(y_A)) + lambda*((x_B-x_A),(y_B-y_A))`

Hierbij is gebruikt dat `vec(AB)=((x_B-x_A),(y_B-y_A))` een richtingsvector is van de lijn door `A` en `B`.

 

 

 

Hoeken

Voor de hoek `varphi` tussen twee vectoren `vec(a)=((a_1),(a_2))` en `vec(b)=((b_1),(b_2))` geldt dat `0^@ le varphi le 90^@` en de formule:

`cos(varphi) = (a_1b_1+a_2b_2)/(|vec(a)|*|vec(b)|)`

Bekijk voor het bewijs de figuur hieronder.

In `Delta OAB` geldt de cosinusregel: `|vec(AB)|^2 = |vec(OA)|^2 + |vec(OB)|^2 - 2*|vec(OA)|*|vec(OB)|*cos(varphi)`.
Invullen geeft: `(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2 = a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 - 2*|vec(a)|*|vec(b)|*cos(varphi)`.
Alleen nog even de haakjes wegwerken en je hebt de formule voor `varphi` bewezen.

De uitdrukking `a_1b_1+a_2b_2` heet het inproduct van de vectoren `vec(a)` en `vec(b)` en schrijf je als `vec(a)*vec(b)`.
Dus:

de hoek `varphi` tussen de vectoren `vec(a)` en `vec(b)` bereken je met `cos(varphi) = (vec(a)*vec(b))/(|vec(a)| * |vec(b)|)`

De vectoren `vec(a)` en `vec(b)` staan loodrecht op elkaar als `varphi=90^@`, dus als `cos(varphi)=0`.
Dit betekent:

`vec(a)=((a_1),(a_2)) _|_ vec(b)=((b_1),(b_2)) <=> vec(a)*vec(b) = 0 <=> a_1b_1+a_2b_2=0`

Hiermee kun je heel simpel een vector bepalen die loodrecht staat op een gegeven vector: `((a),(b)) _|_ ((b),(text(-)a))`.
Een normaalvector van een lijn is een vector die loodrecht op die lijn staat. Er geldt:

de vector `((a),(b))` is een normaalvector van de lijn `m: ax+by=c`.

Om dit te bewijzen bekijk je eerst de lijn `n: ax+by=0` door de oorsprong.
Deze vergelijking is te herschrijven als `((a),(b))*((x),(y))=0`, dus het inproduct van de vectoren en is gelijk aan `0`. Dit betekent dat `((a),(b))` loodrecht staat op `((x),(y))` voor elke punt op lijn `n`.
Dus staat `((a),(b))` loodrecht op `n: ax+by=0`.
En omdat `n` evenwijdig is met `m: ax+by=c`, staat `((a),(b))` ook loodrecht op `m`.

Omdat twee lijnen loodrecht op elkaar staan als hun normaalvectoren loodrecht op elkaar staan, volgt hieruit:

de twee lijnen `m: ax+by=c` en `n: px+qy=r` staan precies dan loodrecht op elkaar als `ap+bq=0`.

Immers: `((a),(b))` is normaalvector van `m` en `((p),(q))` is normaalvector van `n`. En `((a),(b)) _|_ ((p),(q)) <=> ((a),(b))*((p),(q))=0 <=> ap+bq=0`.

Ook vind je:

de vergelijking van een lijn door `A(x_A, y_A)` en loodrecht op `m: ax+by=c` is `n: bx-ay=bx_A-ax_B`.

`((a),(b))` is een normaalvector van `m`, dus `((b),(text(-)a))` is een normaalvector van `n`.
De vergelijking van `n` wordt `bx-ay=r`.
Omdat `n` door `A` moet gaan is `bx_A-ax_b=r`.
En dat levert de formule `n: bx-ay=bx_A-ax_B` op.

 

 

 

Afstanden

Hoe je de afstand tussen twee punten berekent, heb je al gezien.
Het gaat nu om de afstand van een punt tot een lijn.
Daartoe ga je eerst zien hoe je van een vectorvoorstelling van een lijn een vergelijking kunt maken en omgekeerd.

Stel dat lijn `m` als vectorvoorstelling heeft `m: ((x),(y)) = ((s_1),(s_2)) + lambda*((r_1),(r_2))`. Dan is `((r_1),(r_2))` een richtingsvector van `m`, dus is `((r_2),(text(-)r_1))` normaalvector van `m`.
Bovendien gaat `m` door het punt `S(s_1, s_2)`.
Een vergelijking van is daarom: `n: r_2x-r_1y=r_2s_1-r_1s_2`.

Omgekeerd stel dat `m: ax+by=c` een vergelijking van lijn `m` is . Dan is `((a),(b))` een normaalvector van `m`, dus is `((b),(text(-)a))` een richtingsvector van `m`.
Zoek een punt `S(s_1, s_2)`, liefst met gehele coördinaten, dat op `m` ligt.
Als dit niet lukt dan kun je `S(0, c/b)` nemen in het geval dat `b != 0`, of `S(c/a, 0)` als `b=0` (want dan is `a !=0`).
Als vectorvoorstelling van `m` krijg je: `m: ((x),(y)) = ((s_1),(s_2)) + lambda*((b),(text(-)a))`.

Nu kun je een formule afleiden voor de afstand van een punt `P(p_1, p_2)` tot de lijn `m`.
Daartoe stel je een vectorvoorstelling op van de lijn `n` door `P` die loodrecht staat op `m`. Stel dat `Q` het snijpunt is van `m` en `n`. Dan is de gezochte afstand tussen `P` en `m` gelijk aan de lengte van lijnstuk `PQ`.

Formule van Hesse: de afstand van een punt `P(p_1, p_2)` tot een lijn `m: ax+by=c` is: `text(d)(P, m) = (|ap_1 + bp_2 - c|)/(sqrt(a^2 + b^2))`.

Een vectorvoorstelling van lijn `n` loodrecht op `m` en door `P` is: `((x),(y)) = ((p_1),(p_2)) + lambda*((a),(b))`.
Snijpunt van `m` en `n` vind je door `x=p_1+lambda a` en `y=p_2+lambda b` in te vullen: `a(p_1+lambda a) + b(p_2+lambda b) = c`.
Dit geeft `lambda = (c-ap_1-bp_2)/(a^2+b^2)`.
Deze waarde van `lambda` hoort bij het snijpunt `Q(q_1, q_2)` van `m` en `n` met `q_1=p_1+lambda a` en `q_2=p_2+lambda b`.
`|vec(PQ)| = sqrt((q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2) = sqrt((lambda a)^2+(lambda b)^2) = sqrt(lambda^2(a^2+b^2)) = |lambda| sqrt(a^2+b^2)`
Nu de gevonden waarde voor `lambda` invullen: `|vec(PQ)| = |(c-ap_1-bp_2)/(a^2+b^2)| sqrt(a^2+b^2)`.
En dus is `|vec(PQ)| = text(d)(P, l) = (|ap_1+bp_2-c|)/(sqrt(a^2+b^2))`.

 

 

 

En er is nog veel meer

Dit is nog maar het begin van de analytische meetkunde. Uitbreidingen zijn te vinden in:

• Allerlei krommen:
  Bijvoorbeeld voor een cirkel `c` met middelpunt `M` en straal `r` geldt voor elk punt `P(x, y)`: `text(d)(P, M) = r`.
  Dit betekent: `(x-a)^2+(y-b)^2=r^2`.
  Dit is de vergelijking van een cirkel `c` met middelpunt `M` en straal `r`.
  Als `varphi` de hoek is die de vector `vec(MP)` met de horizontale lijn door `M` maakt, dan kun je die vergelijking ook schrijven als de parametervoorstelling `c: {(x = a+rcos(varphi)),(y = b+rsin(varphi)):}`.
  (Hierbij gebruik je dat `sin^2(varphi)+cos^2(varphi)=1`.)
  En met punten, lijnen en cirkels valt weer van alles te berekenen: snijpunten, hoeken, lijnen die raken aan de cirkel, etc.
  En je kunt nog veel andere krommen op een vergelijkbare manier beschrijven...
• Meer dimensies:
  Je kunt de analytische meetkunde ook uitbreiden naar drie dimensies. En dan blijken veel gevonden formules eenvoudig door toevoeging van de `z`-richting geldig te blijven.
  Bijvoorbeeld is de afstand tussen `A(x_A, y_A, z_A)` en `B(x_B, y_B, z_B)` gelijk aan `sqrt((x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2)`.
  En voor de vectorvoorstelling van een lijn hoef je alleen de `z`-component toe te voegen. Maar een vergelijking als `ax+by+cz=d` stelt nu een vlak voor, geen lijn. En de vergelijking van een cirkel wordt met een `z`-component die van een bol, etc.
  En je kunt ook nog in meer dan drie dimensies gaan rekenen...

 

 

 

---

bron: materiaal Chris Wildhagen