Processing math: 100%

Binomium van Newton

Waar gaat het over?

 

Het binomium van Newton is een manier om (a + b)^n uit te werken.
(a + b)^n = sum_(k=0)^n ((n),(k)) * a^(n-k) * b^k
met de binomiaalcoëfficiënten ((n),(k)) = (n!)/(k! * (n-k)!),
het aantal combinaties van k elementen uit n elementen.

 

Hoe werkt het?

 

Stel je wilt (a + b)^7 berekenen. Je kunt dan de driehoek van Pascal gebruiken om de gewenste binomiaalcoëfficiënten uit te rekenen. Daarmee vind je
(a + b)^7 = a^7 + 7a^6 b + 21 a^5 b^2 + 35 a^4 b^3 + 35 a^3 b^4 + 21 a^2 b^5 + 7 ab^5 + b^7
Dat dit zo werkt komt omdat een term als a^4 b^3 bestaat uit alle combinaties die je kunt maken met 4 keer een a en 3 keer een b.

Wie en wanneer?

 

Het binomium werd in de 17e eeuw Isaac Newton (1643 - 1727), een Engelse natuur- en wiskundige, bedacht.
Hij had het nodig voor zijn differentiaalrekening, namelijk om de afgeleide te bepalen van de machtsfunctie f(x) = x^n met n een natuurlijk getal. Het differentiaalquotiënt

f'(x) = lim_(h rarr 0) ((x+h)^n - x^n)/h

dat daarbij moet worden uitgerekend bevat de uitdrukking (x + h)^n en daarin moest Newton de haakjes wegwerken.

Kernwoorden op deze pagina:

  • combinaties
  • afgeleide