Integralen

Waar gaat het over?

De integraal van een functie `f` op het interval `[a, b]` is de som van alle waarden van `f(x)*Delta x` op dit interval als `Delta x` naar `0` nadert.
Je schrijft dit als `int_a^b f(x) text(d)x`.

Hoe werkt het?

Om de integraal `int_a^b f(x) text(d)x` te benaderen gebruik je Riemannsommen met `n` deelintervallen:

• de ondersom is `s = Sigma_(i=0)^n f_(text(min))(x_i)*Delta x` waarin `f_(text(min))(x_i)` de minimale functiewaarde op het `i`-de interval is;
• de bovensom is `S = Sigma_(i=0)^n f_(text(max))(x_i)*Delta x` waarin `f_(text(max))(x_i)` de maximale functiewaarde op het `i`-de interval is.

Als bij `n rarr oo` en dus steeds kleinere deelintervallen, `s` en `S` dezelfde limiet `I` hebben, dan is `I` de waarde van de integraal.

Wie en wanneer?

De eerste manier om de oppervlakte onder een gekromde lijn (of het volume binnen een gekromd omwentelingsoppervlak) te bepalen is de uitputtingsmethode van Eudoxus uit ongeveer 370 v.Chr. Daarmee werden - ook in de eeuwen erna - de oppervlakte van de cirkel, de ellips, binnen de parabool, maar ook inhoud en oppervlakte van kegel en bol, bepaald.
Pas tijdens de 17e eeuw werd door Newton en Leibniz onafhankelijk van elkaar naast de differentiaalrekening ook de integraalrekening ontwikkeld. De hoofdstelling van de integraalrekening verbindt beide zaken met elkaar. In het midden van de 19e eeuw gaf Riemann de eerste zorgvuldig opgezette theorie van de integraalrekening.